Il y a pas mal de temps, j'ai découvert le Problème de Monty Hall, qui est un problème de probabilité conditionnelle. Un sujet qui au départ m'a surpris mais qui au final m'a particulièrement intéressé.
Et après avoir regardé ses différents parallèles sur d'autres sujets (notamment l'ancien jeu de TF1, A Prendre ou à Laisser, que j'adorais, mais qui au final n'est pas concerné par le problème de Monty Hall comme expliqué dans l'article Wikipédia), récemment, une autre émission m'a fait tiquer et m'a rappelé ce fameux problème de Monty Hall : Les 12 coups de midi. Et plus particulièrement la deuxième épreuve, appelée le coup par coup.
Dans cette épreuve, le principe est simple : trois candidats doivent répondre à une question à choix multiple. ll y a 7 propositions de réponses, 6 d'entre elles sont bonnes. Du coup, les candidats peuvent répondre au maximum deux fois. Le candidat qui sélectionne la mauvaise réponse perd donc un point (dans la terminologie du jeu, il passe à l'orange, s'il refait une erreur, il passe au rouge, et c'est un duel éliminatoire). Exemple de question :
Parmi ces cyclistes, qui a déjà remporté au moins une fois le Tour de France ? (l'erreur est en rouge)
- Christopher Froome
- Bernard Hinault
- Alberto Contador
- Cadel Evans
- Jan Ullrich
- Joop Zootemelk
- Raymond Poulidor
Lorsqu'un candidat sélectionne une bonne réponse, la réponse disparaît et c'est au candidat suivant de répondre, jusqu'à ce que quelqu'un sélectionne l'intrus, ou alors quand tout le monde répond juste. Et c'est là que le parallèle avec Monty Hall commence : c'est un peu un problème de Monty Hall à l'envers, où il y a 6 voitures et 1 chèvre. Le but étant bien évidemment de ne pas tomber sur la chèvre.
Mais cela va plus loin. J'ai remarqué que lorsqu'il ne restait plus que 2 réponses, le dernier candidat se plantait très souvent, bien loin de l'intuitif "1 chance sur 2". Du coup, après avoir regardé nombre d'émissions, j'ai fait une statistique empirique : 82 % des candidats se trompent lorsqu'il ne reste que 2 propositions de réponse... Autrement dit, pratiquement une probabilité de 6/7 de se tromper.
Et c'est là que Monty Hall m'est revenu à fond dans la tête. En effet, la probabilité de gagner la voiture, dans le problème de Monty Hall, monte lorsque le présentateur élimine une porte qui contient nécessairement une chèvre, et que le candidat change de porte. C'est assez criant avec un exemple sur 1 million de portes : on sélectionne une porte au hasard, Monty Hall en élimine 999 998 avec des chèvres, et nous propose de changer : la probabilité de gagner en changeant de porte passe à 99,9999 %. C'est sur le fait que l'animateur élimine nécessairement des portes perdantes qui fait augmenter la probabilité de gagner. Ce qui fait que ce problème ne peut pas s'appliquer à A Prendre où A Laisser, puisque c'est le candidat, qui ne sait pas ce qu'il y a derrière les portes, qui doit les ouvrir : la probabilité d'ouvrir la porte gagnante est donc non nulle.
Dans Les 12 coups de midi, il y a un facteur qui change : étant donné qu'il s'agit de questions de culture générale, c'est comme si les candidats savaient ce qu'il y a derrière chaque porte en fonction de leur savoir. Ce n'est pas du hasard. Il suffit de connaître l'intrus à la question pour être sûr d'être tranquille au prochain round. Mais du coup, pourquoi le taux d'échec à la dernière phase est-il si proche de 6/7 ?
En effet, si tout le monde répondait au hasard, la probabilité d'échec à chaque phase serait de 1/7 (14 %) - 1/6 (16 %) - 1/5 (20 %) - 1/4 (25 %) - 1/3 (33 %) - 1/2 (50 %).
Mais il semblerait que dû au fait que les personnes précédentes aient des bonnes réponses (au hasard ou pas !), il semblerait que la probabilité de se tromper en répondant au hasard à une phase augmente bien plus rapidement, faisant 1/7 (14 %) - 2/7 (29 %) - 3/7 (43 %) - 4/7 (57 %) - 5/7 (71 %) - 6/7 (86 %). Ce qui revient au problème de Monty Hall... Serait-ce donc la solution à cette variation du "problème" ?
