Pourquoi (-1)*(-1) = 1 ?

[Redkitsune]

Bonjour
Je viens vers votre forum pour la première fois, excusez moi si je fais ou écris une bêtise.

Je passe souvent du temps à me poser des questions bizarres, élémentaires, peut-être (sûrement) que mon esprit est "cassé".
Depuis ce matin, je n'arrive plus à me faire à l'idée que (-1)*(-1) = 1.
Je sais bien qu'il s'agit je crois, de l'inverse de l'inverse mais... c'est compliqué de m'imaginer le concept : un chat perdu fois un chat perdu = un chat de retrouvé ?

Merci de l'attention, si quelqu'un connait une solution à ce genre de problème ou des conseils...

[hdci]

Bonjour,

La règle "moins par moins égale plus" peut se justifier par la distributivité et par les propriété de la multiplication par 0 et par 1 :

• Propriété 1 : on sait que pour les nombres entiers positifs, et quand on construit les opérations pour tous les nombres on veut conserver cette propriété.
  
• Propriété 2 : on sait que et là aussi on veut conserver cette propriété pour tous les nombres.
  
• Propriété 3 : on sait que et là encore on conserve cette propriété pour tous les nombres.

Calculons alors

• Comme par la seconde propriété, on obtient
  
  
• Avec la distributivité (première propriété), on obtient
  
  
• Avec la troisième propriété, on a donc le résultat précédent est
  

On a ainsi en combinant le premier résultat et le troisième résultat :


Il s'en suit que est l'opposé de c'est-à-dire 1 :

[Redkitsune]

Merci beaucoup pour cette réponse détaillée, logique et compréhensible.
Utiliser la distributivité ou faire appel à des propriétés... c'est un mode de pensée qui ne m'a même pas traversé l'esprit.

Un raisonnement intelligent dont je vais essayer de m'inspirer pour la suite.

[pascal16]

"un chat perdu fois un chat perdu = un chat de retrouvé ?"

c'est plutôt " je me suis trompé 1 fois en déclarant un chat perdu, le décompte du total du nombre de chats doit être augmenté de 1".

[Redkitsune]

Dans mon esprit j'associe davantage votre exemple avec une opération de soustraction puis d'addition plutôt qu'une multiplication. Un exemple correct mais qui m'aurait laissé dans un état d'incompréhension.

L'idée qui me convient le mieux pour le moment, en reprenant la justification : l'opposé de l'opposé c'est la bonne face, donc -1*-1 = 1.
C'est incroyable comme je peine juste pour définir ce genre de chose. : )
(et avec de l'aide en plus)

[LB2]

Bonjour,

après, il faut faire attention avec les analogies "prendre l'opposé, c'est faire telle opération" parce que toute opération ne vérifie pas "opération puis opération = ne rien faire" (une telle opération s'appelle une symétrie ou une involution en maths)

"un chat perdu fois un chat perdu", ça ne veut pas dire grand chose, et puis ça aurait l'unité du carré d'un chat, et pas d'un chat ^^

[hdci]

En fait pour être plus précis, dans un corps (où pour simplifier on parlera d'addition, de multiplication, de 0 pour le neutre de l'addition, de 1 pour le neutre de la multiplication et de pour le symétrique de par l'addition), on a

Et cela se démontre par la distributivité : et

Du coup cela fait .

Donc multiplier par -1 dans un corps cela revient bien à prendre l'opposé.

[beagle]

Dans mon esprit j'associe davantage votre exemple avec une opération de soustraction puis d'addition plutôt qu'une multiplication. Un exemple correct mais qui m'aurait laissé dans un état d'incompréhension.

L'idée qui me convient le mieux pour le moment, en reprenant la justification : l'opposé de l'opposé c'est la bonne face, donc -1*-1 = 1.
...)

c'est drole que la multiplication ne soit pas addition soustraction, non?
C'est pourtant la premiere présentation de la multiplication à l'école primaire que d'ètre une addition répétée.
3 vases avec 5 fleurs dans chaque vase, combien de fleurs?
5+ 5+5 j'ai trois fois 5 fleurs
et le mots fois dit bien combien de fois j'additionne.

Lorsqu'on arrive aux nombres relatifs, et bien comme Pascal, la multiplication devient une addition répétée ou bien une soustraction répétée.

Alors si hdci le fait avec le corps, on peut le faire avec les jambes.
perso j'ai joué avec ma fille dans sa chambre pour le moins par moins fait plus,
une série de pas en avant et de pas en arrière
Si j'enlève 3 fois deux pas en arrière, cela m'amène où?
c'est bien enlever 3 fois, le = -3 , fois les -2 pas qui font 6 pas de plus vers l'avant…

Maintenant avec du 1 , -1, l'addition et la soustraction n'est pas très répétitive, c'est ben vraie...

[Dacu]

Bonjour
Je viens vers votre forum pour la première fois, excusez moi si je fais ou écris une bêtise.

Je passe souvent du temps à me poser des questions bizarres, élémentaires, peut-être (sûrement) que mon esprit est "cassé".
Depuis ce matin, je n'arrive plus à me faire à l'idée que (-1)*(-1) = 1.
Je sais bien qu'il s'agit je crois, de l'inverse de l'inverse mais... c'est compliqué de m'imaginer le concept : un chat perdu fois un chat perdu = un chat de retrouvé ?

Merci de l'attention, si quelqu'un connait une solution à ce genre de problème ou des conseils...

Bon matin,

Supposons que , alors quelle valeur at-il et quelle valeur at-il ?

Cordialement,

Dacu

[Redkitsune]

Bonjour,

Ma réponse risque d'être décevante.
Si multiplier par -1 ne revient plus à prendre l'opposé du nombre alors en inversant les propriétés on a
1 * n = -n
et (-1) * (-n) = -n
Donc (-1) + (-1) = 2 et (-1) - (-1) = 0 au lieu de -2 et 0 (je ne sais déjà plus comment j'arrive à ce résultat)
Je ne vois pas où cet exemple mène. Mais je vais continuer d'y réfléchir.

[beagle]

Bah s'il s'agit de faire des écritures uniquement,
s'il s'agit ensuite que les règles, quelques règles tiennent ensuite la route,
oui pourquoi pas jouer à ça,
mais bon construire de nouveau trucs c'est quand déjà tu as bien compris le pourquoi comment cela se passe dans les niveaux inférieurs,

et les niveaux inférieurs en maths sont nés de problèmes concrets à régler…
donc aligner des formules sans support c'est pour faire quoi?

[beagle]

J'ai pris un exemple de pas en avant , pas en arrière,

mais dans un compte bancaire avec recettes et dépenses,
et bien enlever des dépenses,
c'est super apréciable,
c'est positif!

[chan79]

Salut
(-8)*3 correspond à enlever 8 fois 3 donc (-8)*3=-24
de même
(-8)*(-3) correspond à enlever 8 fois (-3), soit à enlever -24, soit à ajouter 24 donc (-8)*(-3)=+24
Mais je crains que les élèves ne soient guère convaincus ...
De toutes façons, si on veut faire les choses proprement, il faut revenir à la construction de et de ses opérations.

[beagle]

"Mais je crains que les élèves ne soient guère convaincus …"

bah je ne sais pas quel apprentissage on veut , a quel moment pour apprendre quoi.
Mais j'espère bien que les élèves apprendront un jour les entrées sorties de leur compte bancaire,
et j'espère bien qu'ils comprendront que l'emprunt à rembourser lorsqu'il s'arrète c'est un gain de pouvoir achat.

Quant aux pas en avant et pas en arrière,
on peut le jouer en réel,
comme on peut le jouer sur une ligne numérique
avec une série de gains une serie de +, et une série de pertes, de -
c'est facile à matérialiser que si j'enlève des moments de pertes, j'avance sur la ligne numérique,

tout comme j'ai 20 billes le matin,
j'en gagne 3
puis perte de 2
puis perte de 3
puis gains de 6
puis pertes de 2
fin de journée j'ai dans mon sac de bille:
20 + 3 -2 -3 +6 -2 = 22 billes

si j'enlève les deux moments de pertes de 2 billes
20+3-3+6 = 26 billes

etc...
donc que souhaite -ton apprendre à quel moment avec quels exos.
J'espere quand meme que ce n'est pas inenvusageable...

[Dacu]

Bonjour,

Ma réponse risque d'être décevante.
Si multiplier par -1 ne revient plus à prendre l'opposé du nombre alors en inversant les propriétés on a
1 * n = -n
et (-1) * (-n) = -n
Donc (-1) + (-1) = 2 et (-1) - (-1) = 0 au lieu de -2 et 0 (je ne sais déjà plus comment j'arrive à ce résultat)
Je ne vois pas où cet exemple mène. Mais je vais continuer d'y réfléchir.

Bonjour,

Soit , , alors on peut écrire l'équation du second degré avec double racine et si alors , ou ....!!??!!

Cordialement,

Dacu

[Redkitsune]

Bonsoir,

chan79 je trouve votre réponse plutôt clair pour ma part.
Et oui je fais souvent des maladresses.
Je ne sais pas trop quoi répondre; mais vos remarques sont toujours assez instructives.