Les suites de Kuzrassi

[syrac]

Les kuz sont de la forme 24k+1 ou 96k+85. Tous les autres nombres d'une suite kuz ont un antécédent, ce ne sont pas des kuz.

Autre chose. L'algorithme de kuzrassi est déterministe, dans le sens qu'un nombre initial donné génère toujours la même suite. Si je comprends bien, c'est au sein de cette suite que tu fais la distinction entre certains entiers et les autres, comme si tu leur attribuais une couleur différente. Par conséquent, tu exclus certains termes initiaux de la production de cette suite. Par exemple, tu ne choisiras jamais une suite débutant par 1 parce que 1 possède à tes yeux un caractère particulier.

Tout cela s'apparente-t-il aux mathématiques ou à de la cuisine ?

[nodjim]

Voici maintenant l'application de la suite de Syracuse pour un nombre binaire.
Le poids fort est mis à droite, pour une meilleure présentation.
Prenons 7 par exemple:
111
01101
0010001
00001011
0000000101
0000000000001

Prenons 27
11011
0100101
00011111
0000111101
000001110001
0000001101011
000000010000101
0000000001001111
000000000001101101
00000000000010010001
000000000000001110011
00000000000000011011001
000000000000000010010111
00000000000000000011110101
0000000000000000000111000001
00000000000000000000110100011
0000000000000000000001000101001
00000000000000000000000101111011
0000000000000000000000000011100101
00000000000000000000000000011011111
0000000000000000000000000000100111101
000000000000000000000000000000110110001
0000000000000000000000000000000100101011
000000000000000000000000000000011011111001
0000000000000000000000000000000010011110111
000000000000000000000000000000000011011001101
00000000000000000000000000000000000100101100001
000000000000000000000000000000000001101110010011
00000000000000000000000000000000000100011011101001
000000000000000000000000000000000000010100011000111
00000000000000000000000000000000000000000101001010101
000000000000000000000000000000000000000000000111111111
00000000000000000000000000000000000000000000001111111101
0000000000000000000000000000000000000000000000011111110001
00000000000000000000000000000000000000000000000011111101011
0000000000000000000000000000000000000000000000000111110000101
00000000000000000000000000000000000000000000000000111101001111
0000000000000000000000000000000000000000000000000001110001101101
000000000000000000000000000000000000000000000000000011010100010001
0000000000000000000000000000000000000000000000000000010000010110011
000000000000000000000000000000000000000000000000000000010001110011001
0000000000000000000000000000000000000000000000000000000001010101100111
000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000010110101
1000001 (avec les zéros ôtés)
00100011
0000101001
00000000111
0000000001101
000000000010001
0000000000001011
000000000000000101
00000000000000000001

On retombe bien sur un 2^n.
Mais qu'est ce qui te dit qu'on ne va pas reboucler avant d'arriver à ce 2^n ?

[syrac]

:mur:

Appliquons à l'algorithme proposé le nombre 1:
1---->2
2-1 non divisible par 3, alors on multiplie 2 par 2=4
4-1 est divisible par 3 et pas par 9----->3/3=1

La suite générée par 1 est 1, 2, 4, 1, 2, 4, ...

Maintenant, si on prolonge la multiplication par 2 de 4

Pourquoi interférer avec l'algorithme en multipliant 4 par 2 ? Quel sens donnes-tu à cette opération ?

au lieu d'appliquer l'algo kuz:
4---->8----->16, et 16-1=15 divisible par 3 et pas par 9, 15/3=5

Donc tu cesses d'appliquer l'algorithme après avoir atteint 4. Il est bien accommodant, car normalement il aurait dit qu'après 4 il y a 1.

Nous en sommes maintenant à la suite 1, 2, 4, 8, 16, 5, ..., (que l'algorithme ne peut pas générer).

5 est un kuz car il n'a pas d'antécédent impair.
Si on prolonge 16:
16---->32---->64 (mais 63 divisible par 9, on continue) 64--->128--->256
255 divisible par 3 et pas par 9: 255/3=85
85 est un kuz car il n'a pas d'antécédent impair.
Etc...

La suite se transforme donc comme par magie en 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 85, ...

Tu ne peux pas me voir mais j'ai la mâchoire inférieure qui pandouille.

[nodjim]

Bon, ben, je ne sais pas quoi te dire. C'est une énigme que j'ai proposée sur un autre site. Quelques uns ont trouvé la solution. Contrairement à ce que tu sembles croire, ça n'a rien à voir avec une recette de cuisine, la solution est prouvée, et même la démarche pour la trouver.
On s'amuse comme on peut.

[syrac]

Bon, ben, je ne sais pas quoi te dire.

Excuses-moi d'avoir fait preuve d'ironie, mais tout cela est très déroutant. Prenons un cas concret, la suite générée par 13 :

13, 26, 52, 17, 34, 11, 22, 7, 14, 28, 56, 112, 37, 74, 148, 49, 98, 196, 65, 130, 43, 86, 172, 344, 688, 229, 458, 916, 305, 610, 203, 406, 812, 1624, 541, 1082, 2164, 721, 1442, 2884, 961, ...

Contient-elle des kuz ? Est-elle valide d'après toi ?

[nodjim]

Une suite kuz ne peut contenir qu'un seul nombre kuz, le premier de la suite. 13 n'est pas de la forme 24k+5 ou 96k+85, il a donc un antécédent.
Pour le trouver, on applique l'algorithme de Syracuse
13--->40---->5.
La suite que tu as écrite est bien issue de l'algorithme kuzrassi. On peut la faire commencer par 5, nombre kuz car sans antécédent.
Il est à noter que si on applique à un nombre quelconque d'une suite kuz l'algorithme de Syracuse, on tombera obligatoirement sur le kuz, c'est à dire le premier de la suite.

[Benjamin]

Bonsoir.
Un kuz est par défintion un nombre qui n'a pas d'antécédent impair. 1 a un antécédent impair: lui même, ce n'est donc pas un kuz.
Une suite kuz est construite de telle sorte qu'il n'existe qu'un seul antécédent. Comme le nombre kuz initial n'a pas d'antécédent par définition, une suite kuz ne peut se reboucler sur elle même. Comme à partir d'un kuz k donné le cardinal des nombres inférieurs à k est limité, et comme une suite kuz est illimitée (on peut toujours trouver un suivant), alors la suite kuz a toujours pour limite l'infini.

Salut,

J'avais compris "pas d'antécédent" comme pas de "u(n-1) donne u0". Je n'avais pas compris que c'était dans toute la suite. Et du coup, comme on ne peut pas avoir 2 nombres impairs de suite, j'avais viré cette condition que je trouvais redondante.

[syrac]

Une suite kuz ne peut contenir qu'un seul nombre kuz, le premier de la suite. 13 n'est pas de la forme 24k+5 ou 96k+85, il a donc un antécédent.

Le ciel commence à s'éclaircir. :lol3:

Si j'ai bien compris

- Un kuz est un entier de la forme 24m+5 ou 96m+85, avec m > 0.
- Lorsqu'on lui applique l'algorithme de Collatz (lequel donne un résultat un peu différent de ce que j'entends par algorithme de Syracuse), il n'a pas de successeur impair dans la suite générée.
- Le nombre 5, par exemple, qui donne la suite de Collatz 5, 16, 8, 4, 2, 1, est un kuz parce qu'il n'a pas de successeur impair dans ladite suite.
- Si on applique l'algorithme de kuzrassi à un kuz et qu'ensuite on applique l'algorithme de Collatz à l'un quelconque des termes pair ou impair de cette suite, la suite générée par l'algorithme de Collatz contiendra nécessairement le kuz.

Pourtant, la suite de Collatz de 181, un kuz égal à 96*1+85, donne 181 544 272 136 68 34 17 52 26 13 40 20 10 5 16 8 4 2 1. On voit que 181 a les successeurs impairs 17, 13 et 5. Il y a donc quelque chose qui m'échappe encore. Je doute d'ailleurs qu'on puisse trouver un entier qui n'ait pas un successeur impair dans une suite de Collatz, à part 5.

EDIT : autre motif d'étonnement, tu dis que 5 est un kuz, et pourtant il n'est pas de la forme 24m+5 ou 96m+85.

[syrac]

J'avais compris "pas d'antécédent" comme pas de "u(n-1) donne u0". Je n'avais pas compris que c'était dans toute la suite.

Je vois que nous sommes au moins deux à ne pas comprendre grand chose à la question des kuz. Elle comporte trop de zones d'ombres et d'incohérences. De plus, nodjim déclare : "Quelques uns ont trouvé la solution. ... la solution est prouvée, et même la démarche pour la trouver.". Donc si la messe est dite je ne vois pas l'intérêt de poursuivre dans cette voie.

[nodjim]

Syrac, je vais effectivement arrêter là. La confusion n'est pas dans l'énoncé de l'énigme, mais dans ce que tu en comprends. Sinon, quand on parle d'une manière générale de nombres de la forme an+b, n=0 est une possiblité, si on ne précise pas.

Tu peux voir le travail qui a été fait sur le site où cette énigme a été proposée si ça t'intéresse.

[Benjamin]

Je vois que nous sommes au moins deux à ne pas comprendre grand chose à la question des kuz.

Pour ma part, je comprends très bien maintenant. Mon seul soucis est venu du rang à appliquer à "antécédent" Et comme nodjim t'as dit dans son dernier message, on a le droit de faire m=0, ce qui donne 5.

[syrac]

Syrac, je vais effectivement arrêter là. La confusion n'est pas dans l'énoncé de l'énigme, mais dans ce que tu en comprends. Sinon, quand on parle d'une manière générale de nombres de la forme an+b, n=0 est une possiblité, si on ne précise pas.

Tu as raison. L'idée que dans 24m+5 ou 96m+85 m puisse être égal à 0 ne m'a pas effleuré l'esprit. En général on essaie de préciser les valeurs que peut prendre une variable, afin d'éviter toute fausse interprétation ou conclusion. Mais ça n'empêche que j'aurais dû y penser...

Quant à l'incompréhension d'un problème (le concept de kuz par exemple), il existe deux responsables possibles : celui qui en fait l'énoncé mais ne parvient pas à être suffisamment clair, ou celui dont l'esprit est tellement lent que de toute façon il ne pige rien à rien. :we:

[syrac]

Pour ma part, je comprends très bien maintenant. Mon seul soucis est venu du rang à appliquer à "antécédent" Et comme nodjim t'as dit dans son dernier message, on a le droit de faire m=0, ce qui donne 5.

- Je comprends qu'un kuz doit toujours être le terme initial dans une suite de kuzrassi (sans que ce soit une obligation de faire débuter cette suite par un kuz).
- Je comprends qu'il est de la forme 24m+5 ou 96m+85, m >= 0.
- Je ne comprends pas ce que signifie "antécédent". D'après l'exemple que nodjim donne :

13 n'est pas un kuz parce qu'il a un antécédent. Pour le trouver on applique l'algorithme de Syracuse
13--->40---->5

D'après ce que je vois, 5 succède à 13 dans la suite de Collatz, si bien que je ne capte pas le sens du mot "antécédent".

PS : il existe deux topics "Les suites de kuzrassi" sur ce forum.

[Benjamin]

PS : il existe deux topics "Les suites de kuzrassi" sur ce forum.

Voilà, c'est réparé. Mauvaise manip hier.

[syrac]

Finalement je crois comprendre. "Antécédent" signifie que 13 n'est pas un kuz parce qu'il est suivi du kuz 5 dans la suite de Collatz de 13 : 13, 40, 20, 10, 5, ...

Mais 181 est un kuz parce que le premier entier impair qui lui succède n'est pas un kuz : 181, 544, 272, 136, 68, 34, 17, ...

Faire cet énoncé, ou utiliser le terme de "premier successeur impair", aurait évité pas mal de posts.

[syrac]

L'énoncé que j'ai proposé dans mon précédent post pose un problème. En effet, les kuz 53, 77, 269, 461, 653, 821, 845, 1037,... (je pense qu'il en existe beaucoup d'autres), de la forme 24m+5, ont pour premier successeur impair un autre kuz de la même forme :

24*2+5 = 53 -> 53, 160, 80, 40, 20, 10, 5 = 24*0+5
24*3+5 = 77 -> 77, 232, 116, 58, 29 = 24*1+5
24*11+5 = 269 -> 269, 808, 404, 202, 101 = 24*4+5
24*19+5 = 461 -> 461, 1384, 692, 346, 173 = 24*7+5
24*27+5 = 653 -> 653, 1960, 980, 490, 245 = 24*10+5
24*34+5 = 821 -> 821, 2464, 1232, 616, 308, 154, 77 = 24*3+5
24*35+5 = 845 -> 845, 2536, 1268, 634, 317 = 24*13+5
24*43+5 = 1037 -> 1037, 3112, 1556, 778, 389 = 24*16+5

Quant à ceux de la forme 96m+85, les kuz 565, 853, 1237, 1333, 1813, ... ont pour premier successeur impair un kuz de l'une ou l'autre forme :

565 -> 53
853 -> 5
1237 -> 29
1333 -> 125
1813 -> 85

Soit je ne comprends toujours rien à la définition d'un kuz (ce qui est le plus probable), soit un kuz n'est pas de la forme 24m+5 ou 96m+85.

(J'ai édité mon post car j'avais malencontreusement pris les kuz de la forme 24m+85 au lieu de la forme 96m+85, mais ça ne change rien au problème soulevé).

[syrac]

[Suite du précédent]

13 n'est pas de la forme 24k+5 ou 96k+85, il a donc un antécédent.
Pour le trouver, on applique l'algorithme de Syracuse
13--->40---->5.

Si 13 n'est pas un kuz parce qu'il est suivi de 5, qui lui en est un, (5 étant l'antécédent de 13 selon ta terminologie), alors 53, 77, 269, 461, 653, 821, 845, 1037, ... et 565, 853, 1237, 1333, 1813, ... ne sont pas des kuz.

Cette affirmation est on ne peut plus logique.

[syrac]

[Suite du monologue]

On trouve également la suite de Collatz de 565, qui comporte les trois kuz 565, 53 et 5 :

565, 1696, 848, 424, 212, 106, 53, 160, 80, 40, 20, 10, 5, 16, 8, 4, 2, 1

Si un entier impair qui n'est pas un kuz a de ce fait un antécédent, comment définit-on un kuz qui possède deux antécédents ?

EDIT : en fait il n'est pas irréaliste d'affirmer qu'on peut toujours trouver une suite de Collatz comportant un nombre donné de kuz.

[nodjim]

J'interviens pour expliquer pourquoi 53, par exemple, est un kuz.
53---> 160, 80, 40, 20, 10, 5 par l'algo collatz.
Si on applique à 5 l'algo kuz, on aboutit à 13, pas à 53.
53 n'est donc pas accessible par l'algo kuz. il n'a pas d'antécédent. C'est donc un kuz.

[nodjim]

En revanche, d'accord pour dire que l'algo collatz passe par des kuz. Le contraire ( c'est à dire une suite collatz qui ne passe par aucun kuz) qui reste à démontrer, ne doit pas exister (sauf pour 1,4,2 bien entendu).