Je propose cette manière de présenter ce sujet "Forme linéaire en dimension finie et non nulle"
Je la propose à la lecture ici avec ses deux définitions et un exercice résolu avec une seule question
Sujet: Forme linéaire en dimension finie et non nulle
Prérequis : Matrice d'une application linéaire
Définitions
Soit
On appelle forme linéaire une application linéaire
L'ensemble
est appelé espace dual de
Soit
On appelle base duale de
telle que
La forme linéaire
Exercice
Montrer que si
alors la matrice de passage de la base duale
est la transposée de la matrice de passage de la base
Formellement
Solution
Dans le contexte de
Soient
On rappelle ici que si
Formellement
et on rappelle aussi qu'on dit que
Soit
On rappelle que
et on rappelle que pour tout vecteur
et en notant
La matrice de passage
et par conséquent
de sorte que la matrice de passage
et qu'il en résulte que la
des coordonnées du
Par conséquent
Ici on va poser
où
de sorte qu'on obtient
Par ailleurs
Comme
alors
par conséquent
de
il est nécessaire de se donner une base arbitraire afin de définir un isomorphisme le reliant à
Reprenons l'égalité précédente
avec ce qu'on vient de poser on obtient
On peut alors poser une matrice colonne
par conséquent il existe un
et un vecteur
Comme
On peut alors identifier
On a donc la combinaison linéaire
En considérant le symbole de Kronecker
par conséquent
et de la même manière que pour toute forme linéaire
de la même manière pour la forme
Soit
on obtient donc
Soit
et posons la famille de scalaires
En considérant la matrice de passage
En considérant
Pour tout
Dans cette écriture on reconnaît le produit matriciel
À présent rappelons la formule
avec
Appliquons cela en revenant ici
avec
À présent rappelons la formule
Appliquons cela en revenant ici
alors on voit que
La
et donc c'est aussi la
de sorte que
d'où l'égalité
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