La fonction zéta

Discussion générale entre passionnés et amateurs de mathématiques sur des sujets mathématiques variés
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Ncdk
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La fonction zéta

par Ncdk » 01 Déc 2015, 21:59

Bonjour,

J'avais déjà entendu parler de cette fonction, mais il y a des choses que je trouve très bizarre, du moins ce n'est pas infirmer sur internet, mais j'aimerai avoir des précisions, on va se cantoner juste à cette histoire de
Donc qui est la somme des entiers naturels au final, et le fait que j'ai pu lire que ça vaut il est naturel pour moi de me demander : Pourquoi ?



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Ben314
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par Ben314 » 01 Déc 2015, 22:41

Salut,
Le truc, c'est que ce n'est pas du tout qui vaut -1/12 (en ce moment, ça fait visiblement fureur sur le net de présenter ça sous cette forme débile....)
La fonction zéta, on peut la définir pour les complexes s de partie réelle >1 comme étant égale à .
Pour de tels s, la série est convergente et ç'est donc on ne peut plus cohérent.
Après, le truc, c'est que la fonction ainsi définie peut se prolonger de façon analytique au plan complexe tout entier privé seulement de 0. Et c'est ce prolongement qui prend la valeur -1/12 en s=-1.
Fondamentalement, écrire que , c'est la même chose que d'écrire que sous prétexte que la fonction se prolonge en x=0 avec la valeur -1/2 : c'est clairement un énorme abus de notation à proscrire impérativement si on ne veut pas finir par écrire n'importe quoi...
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Ncdk
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par Ncdk » 01 Déc 2015, 22:45

D'accord, merci, c'est vrai que cette histoire de prolongement sur le plan complexe, personne ne l'explique, et d'après ce que j'ai pu lire et même entendre, ils parlent comme si c'était quelque chose qu'on a l'habitude d'utilisé avec les séries, c'est-à-dire de regarder si déjà la suite est convergente avant de s'intéresser à la série, puis après on peut débattre ou non, et c'est pour ça que je comprenais pas.

Du coup cette somme, comment on peut l'écrire, juste les premiers termes, c'est quand même 1+2+3+... ?

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Lostounet
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par Lostounet » 01 Déc 2015, 22:50

Merci de ne pas m'envoyer de messages privés pour répondre à des questions mathématiques ou pour supprimer votre compte.

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Ben314
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par Ben314 » 01 Déc 2015, 22:55

Cette somme, au sens usuel du terme "somme" en mathématique, elle "vaut" (avec des guillemets) l'infini, c'est à dire que la limite de la somme de 1 à N tend vers l'infini lorsque N tend vers l'infini.
Après, il y a d'autres façons plus ou moins biscornues d'essayer de donner un sens à une somme autres que de prendre la limite des sommes partielles et, pour certaines des ces façons, on peut éventuellement trouver que la somme en question prend une valeur finie (souvent -1/2)
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Ncdk
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par Ncdk » 01 Déc 2015, 22:55

J'avoue ne pas avoir chercher, mais c'était plus une question spontanée !
Mea culpa ! :)

Sylviel
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par Sylviel » 02 Déc 2015, 11:59

Ncdk a écrit:J'avoue ne pas avoir chercher, mais c'était plus une question spontanée !
Mea culpa ! :)


Pas bien grave, même si c'est toujours mieux de jeter un oeil pour voir si ça n'a pas déjà été traité :zen:

En l'occurrence c'est assez intéressant de jeter un oeil sur la fonction pour comprendre comment elle est définie !
Merci de répondre aux questions posées, ce sont des indications pour vous aider à résoudre vos exercices.

Plimpton
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par Plimpton » 02 Déc 2015, 18:12

Ben314, le plan complexe sur lequel est défini zeta n'est pas privé de 0 mais de 1, car zeta(0) = -1/2 et zeta(1) donne la fameuse série harmonique qui tend vers l'infini, même par extension analytique de zeta :)

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Ben314
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par Ben314 » 02 Déc 2015, 21:41

Effectivement, j'était pas très réveillé.... (il y a aussi un -1/2 qui devrait être un -1/12 si on regarde bien... :marteau: )
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