Comment sommes-nous certains des zéros de la fonction Zeta ?

Discussion générale entre passionnés et amateurs de mathématiques sur des sujets mathématiques variés
Plimpton
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Comment sommes-nous certains des zéros de la fonction Zeta ?

par Plimpton » 11 Nov 2015, 23:09

Bonjour à tous !

Vous connaissez peut-être la fameuse hypothèse de Riemann, qui dit que tous les zéros non-triviaux de la fonction Zeta de Riemann ont pour partie réelle 1/2. Je rappelle que Zeta de s (on va la noter z(s)) est définie sur C par la somme infinie des inverses des entiers positifs à la puissance s.

Ma question est la suivante : on ne connait que des valeurs approchées des zéros de la fonction Zeta, donc comment peut-on avoir la certitude que certaines valeurs de s donnent bien 0 ? Si on compare les valeurs que donnent cette fonction à un relief montagneux, où l'altitude d'un point serait son module, comment peut-on etre certains que chaque "trou" (chaque région autour d'un zéro) aille bien jusqu'au minimum, c'est à dire jusqu'à zéro ? Je me posais cette question car le théorème des valeurs intermédiaires ne permet pas d'y répondre.

Merci :)



Skullkid
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par Skullkid » 12 Nov 2015, 02:18

Bonsoir, on utilise fréquemment une autre fonction, la fonction Z de Riemann-Siegel, qui est définie par où K est une fonction qui ne s'annule jamais et qui est choisie de telle sorte que Z(s) est réel lorsque s est réel. On peut du coup utiliser les valeurs intermédiaires sur Z.

Plimpton
Membre Naturel
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par Plimpton » 12 Nov 2015, 09:25

Merci beaucoup !

 

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