Démonstration des formules d'addition (trigonométrie)

par **raptor77** » 07 Juil 2007, 18:21

Bonjour les ami(e)s savez-vous où je peux trouver des démonstrations des formules d'addition trigonométriques? une recherche sur le web n'a rien donné...
Merci d'avance pour votre aide
Cordialement
Raptr

par **anima** » 07 Juil 2007, 18:32

raptor77 a écrit:Bonjour les ami(e)s savez-vous où je peux trouver des démonstrations des formules d'addition trigonométriques? une recherche sur le web n'a rien donné...
Merci d'avance pour votre aide
Cordialement
Raptr

Quelles additions? cos(a+b) ou cosa+cosb?

par **raptor77** » 07 Juil 2007, 18:34

cos(a+b) sin(a-b) etc

par **emdro** » 07 Juil 2007, 18:40

Bonsoir,

on utilise le produit scalaire.

Dans le cercle trigonométrique, si on a (i, OA)=a et (i,OB)=b,
On a OA.OB (produit scalaire)=OA*OB*cos(b-a) d'une part
et OA.OB (produit scalaire)=cosa*cosb+sina*sinb (d'après la formule xx'+yy')

D'où cos(b-a)=cosa*cosb+sina*sinb

C'est le point de départ.
Après, on remplace a par -a pour avoir cos(b+a)

et on utilise sinx=cos(Pi/2-x) pour avoir celles de sinus.

par **anima** » 07 Juil 2007, 18:42

raptor77 a écrit:cos(a+b) sin(a-b) etc

La démo peut se faire en utilisant la formule d'Euler:

Et la, en identifiant la partie réelle et complexe de chaque membre, tu obtiens cos(a+b) et sin(a+b)

P.S: Pas mal la démonstration avec le produit scalaire. Je ne l'avais encore jamais vue, celle la.

par **emdro** » 07 Juil 2007, 18:46

Tu as la version terminale par Anima et première par moi!

@Anima,
*si les fonctions sin et cos sont définies géométriquement comme au lycée:
c'est parce que sin et cos vérifient ces formules d'addition que exp(ia)*exp(ib)=exp(i(a+b)). C'est donc pratique pour s'en souvenir, mais cela ne constitue pas une démonstration.
*Si sin et cos sont définies comme partie imaginaires et réelles de la fonction x->exp(ix):
c'est ta démonstration qui est adaptée.

par **anima** » 07 Juil 2007, 19:00

emdro a écrit:Tu as la version terminale par Anima et première par moi!

@Anima,
*si les fonctions sin et cos sont définies géométriquement comme au lycée:
c'est parce que sin et cos vérifient ces formules d'addition que exp(ia)*exp(ib)=exp(i(a+b)). C'est donc pratique pour s'en souvenir, mais cela ne constitue pas une démonstration.
*Si sin et cos sont définies comme partie imaginaires et réelles de la fonction x->exp(ix):
c'est ta démonstration qui est adaptée.

Si mes souvenirs sont exacts, on apprend la premiere définition, puis la seconde. Et comme les 2 ne sont pas incompatibles, nos deux démonstrations peuvent coexister.
Cependant, la tienne fait appel a des notions moins "balèzes" (car l'exponentielle complexe... Terminale ou 1ere année d'université), et je ne la connaissais d'ailleurs pas.

par **emdro** » 07 Juil 2007, 19:04

anima a écrit:Si mes souvenirs sont exacts, on apprend la premiere définition, puis la seconde. Et comme les 2 ne sont pas incompatibles, nos deux démonstrations peuvent coexister.

Bien-sûr.

Mais dans la construction intellectuelle de l'analyse qui est faite au lycée, je te rappelle qu'on pose en terminale exp(it)=cos(t)+isin(t). Et c'est grâce aux formules d'addition (qui ont été démontrées précédemment en première) que l'on peut aboutir à la relation exp(ia)exp(ib)=exp(i(a+b)).

Tu vois donc que repartir de là pour aboutir aux formules d'addition constitue un "contre-sens" (au sens propre)! :ptdr:

par **anima** » 07 Juil 2007, 19:08

emdro a écrit:Bien-sûr.

Mais dans la construction intellectuelle de l'analyse qui est faite au lycée, je te rappelle qu'on pose en terminale exp(it)=cos(t)+isin(t). Et c'est grâce aux formules d'addition (qui ont été démontrées précédemment en première) que l'on peut aboutir à la relation exp(ia)exp(ib)=exp(i(a+b)).

Tu vois donc que repartir de là pour aboutir aux formules d'addition constitue un "contre-sens" (au sens propre).

Dans la construction intellectuelle de l'analyse faite au lycée, comme tu l'as dit. C'est pour ca que pour le lycée, ta démonstration est plus pratique

par **emdro** » 07 Juil 2007, 19:12

Anima,

Tu as raison. Il me semble toujours intéressant de préciser les prérequis pour éviter les "ouroboros"!

par **anima** » 07 Juil 2007, 19:14

emdro a écrit:Anima,

Tu as raison. Il me semble toujours intéressant de préciser les prérequis pour éviter les "ouroboros"!

...C'est pour ca qu'il faudrait que tout le monde donne clairement son niveau recherché (genre "Bonjour, je veux la démonstration de , niveau "). Ca simplifierait tellement les choses...
En voyant raptor arriver, j'ai posté directement la démo par les complexes plutot que de m'abstenir

par **raptor77** » 07 Juil 2007, 20:06

anima a écrit:...C'est pour ca qu'il faudrait que tout le monde donne clairement son niveau recherché (genre "Bonjour, je veux la démonstration de , niveau "). Ca simplifierait tellement les choses...
En voyant raptor arriver, j'ai posté directement la démo par les complexes plutot que de m'abstenir

Merci à vous 2. Pendant qu'on y est pouvez-vous me dire comment on démontre les formules de linéarisation?

par **emdro** » 07 Juil 2007, 20:11

Les formules de linéarisation, c'est:
cosp cosq=
sinp sinq=
cosp sinq=

?

par **raptor77** » 07 Juil 2007, 20:20

emdro a écrit:Les formules de linéarisation, c'est:
cosp cosq=
sinp sinq=
cosp sinq=

?

Non c'est cos²a, sin²a,etc

par **anima** » 07 Juil 2007, 20:24

raptor77 a écrit:Non c'est cos²a, sin²a,etc

Tu peux les faire découler de cos(a+b) = cosacosb-sinasinb. Je te montre:
cos^2 = cosacosa.
Or, cosacosb = cos(a+b)+sinasinb
Donc, en prenant a=b, on a cos^2 a = cos2a + sin^2a
Or, sin^2a +cos^2a = 1
Donc, sin^2a = 1-cos^2a
2cos^2a = cos2a + 1
cos^2a = (cos2a+1)/2

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