Problème d'addition d'entiers

par **Osvan** » 25 Nov 2010, 21:43

Bonjour à toutes et à tous,

Je me suis inscrit aujourd'hui (bla bla bla) pour faire appel à votre aide.

Je suis allé dernièrement au Palais de la découverte à Paris et je n'ai pu m'empêcher d'aller, par curiosité, à un exposé sur les mathématiques, au risque de louper ma séance au planétarium. Donc me voilà devant un homme qui, après moult discussions sur les ensembles de nombres et la notion d'infini, nous balance au tableau la ligne suivante :

"1+10+100+1000+10000+...." en nous disant "Et ça, ça fait combien à l'infini?"

A ce moment là toute la salle si dit "bah ça fait l'infini voyons!" mais comme personne n'ose s'exprimer de peur du piège le mathématicien écrit et commente les lignes suivantes :

"Et bien comme on sait pas ce que ça fait, on l'appelle X : alors X=1+10+100+1000+10000+..."
"Or tout le monde est d'accord si j'écris X=...1111. qui se lit comme une infinité de 1 terminée par 1111. et c'est un entier donc rien après la virgule."
"Si on multiplie par 9 ça fait : 9X=...9999. jusque là tout le monde est d'accord n'est-ce pas??"
"Et maintenant on ajoute 1 : 9X+1=...0000." (à ce moment là je me dit que ça reviens à écrire 10^(infini naturel))

Attention le coeur du problème est là :
"Bon on a une infinité de 0 donc pour simplifier on dit : 9X+1=0" :doh:

La salle se fige

"Et là c'est simple on fait un peut de premier degré pour trouver X=-1/9"

Cri de stupeur, on frôle l'infarctus du grand-père assis à côté de moi, etc.

"Donc : 1+10+100+1000+10000+...=-1/9"

L'exposé se finit là dessus.

De retour chez moi avec ce problème qui m'obsédait je me met à écrire :

X=1+10+100+1000+10000+...
X=1+(10+100+1000+10000+...)
X=1+10(1+10+100+1000+10000+...)
X=1+10X
X=-1/9

Et là c'est le drame... pour moi c'est inconcevable.

Mes questions sont les suivantes :
-Est-ce vrai?
-Si oui est-ce que c'est démontrable d'une autre manière?
-Si non est-ce que le mathématicien se foutait de nous?
-Si non qu'est-ce qui ne va pas dans les lignes rédigées?

Merci d'avance !

Bonne soirée

par **Doraki** » 25 Nov 2010, 22:21

Si tu veux que la suite 1, 11, 111, 1111,... soit "convergente", alors elle convergerait vers un truc comme ...111111., et donc il faut donner un sens aux nombres qui ont une infinité de chiffres (on peut faire tout ça).
Si tu admets que faire tout ça ce n'est pas impossible, bah ...111111 = -1/9, oui.

C'est comme 0.9999... = 1 mais dans l'autre sens.

par **Osvan** » 25 Nov 2010, 22:36

D'accord mais alors comment ça se fait qu'on trouve une réponse négative?

J'ai pas étudié les convergences de suites donc ça veut pas dire grand chose pour moi.

par **Doraki** » 25 Nov 2010, 22:42

bah parceque ...99999 + 1 = 0. =)
on a plus besoin d'un signe "-" pour avoir des trucs qui sont négatifs.

"-1" c'est juste la solution de x+1 = 0
Ben maintenant "-1" on l'a déjà et c'est "...99999"

par **Osvan** » 25 Nov 2010, 22:51

Mais justement je comprend pas comment on passe d'un nombre qui se construit avec un 1 suivit d'une infinité de 0 à un 0 seul. Je dois vraiment passé pour un borné, désolé, mais pour moi c'est pas compréhensible. Il me faudrait un déclic...

par **Doraki** » 25 Nov 2010, 23:01

Pour additionner deux nombres à une infinité de chiffres, c'est pareil que pour additionner des nombres normaux, sauf qu'on a jamais fini. On calcule le chiffre des unités du résultat, puis le chiffre des dizaines, et ainsi de suite.

Si tu ajoutes 1 à ...9999., tu obtiens ...0000.

par **Osvan** » 25 Nov 2010, 23:22

jusque là je comprend tout à fait. mais ça veut dire que ce ...0000. vaut 0 ?

par **Doraki** » 26 Nov 2010, 00:02

bah ouais si tu essayes d'ajouter ..00000 à quelquechose, ça revient à rien faire du tout.

par **Ben314** » 26 Nov 2010, 00:04

Salut,
Je pense quand même qu'il faut un peu insister sur la première phrase de Doraki :

Doraki a écrit:Si tu veux que la suite 1, 11, 111, 1111,... soit "convergente"...

En mathématiques "usuelle" (celles qu'on apprend au lycée et qu'on utilise pour les applications pas trop pointues) la suite 1, 11, 111, 1111, ... n'a pas de limite donc cela n'a aucun sens de considérer le "nombre" ...1111.
Pour donner un sens à ce "nombre", il faut fabriquer toute une catégorie de nouveaux "nombres" qui contient bien plus d'éléments que les entiers naturels (ou relatifs) que l'on voit dans un cursus scolaire normal.
Donc, pour reprendre ce que dit Doraki, effectivement, lorsque l'on arrive à donner un sens à l'expression ...1111 alors, lorsque on lui rajoute 1, on trouve 0. Mais ce n'est pas simple du tout de donner un sens à une telle expression...

par **Osvan** » 26 Nov 2010, 18:20

Oui voilà moi je suis encore dans les petites mathématiques vu que je suis encore au lycée.
Si j'applique les formules que j'ai apprises je trouve la somme suivante:

S(0,n)=1(1-10^n+1)/-9 autrement dit S(0,n)=(-1/9)(1-10^n+1)
Je retombe donc sur le -1/9 mais pour montrer que (1-10^n+1) tend vers 0 quand n tend vers l'infini je sais pas faire...

par **Ticot** » 26 Nov 2010, 18:34

Bonjour, désolé de m'incruster ^^" mais je crois qu'on appelle ça des nombres décadiques (merci SVJ!), ce sont les nombres avec une infinité de chiffre avant la virgule. (c'était la minute matrhs !:ptdr:)
Je trouve ça bizarre, même si je suis en 3e, de dire que ...9999+1 = ...0000
je penserais plutôt à ...9999+1 = 1....0000 et non pas =0
J'arrive pas trop à suivre.. :/
Mais bon, c'est les maths :lol2:

par **beagle** » 26 Nov 2010, 18:42

Oui, ben moi le jour où mon compte bancaire recevra 1 euro, puis 10 euros le lendemain, puis 100 euros le troisième jour,1000 euros le quatrième,etc...
Je déboucherai une bonne bouteille...

j'adore avec tous ces zéros, ça vaut rien, c'est très drole,le petit 1 devant sert à rien?

par **Ticot** » 26 Nov 2010, 18:46

C'est pas très rationnel les maths :/

par **Lostounet** » 26 Nov 2010, 19:41

On pourrait peut-être rapprocher ça au fameux 0,9999... = 1
Si c'est bien clair dans ma tête, voici comment j'avais compris cela:

Si l'on pose x = 0,999...
(x = 1)

Alors 2x = 1.999...8 ?

Pourtant, on peut toujours ajouter des 9, et si tu me dis "ce 9 est le dernier, 9 + 1 = 10 et je retiens 1", je pourrais toujours t'en rajouter, des 9, des 9, des 9... Donc finalement, ce 8 n'existe pas, ou existe à l'infini..

Ici, si 10 + 100 + 10000... = 11111..

x = 11111..
9x = 99999...

9x + 1 = 9999... + 1

Tu viendras me dire un jour, tiens ce 9 est le dernier, 9 + 1 = 10 et je retiens 1 (qui se répercute pour donner un 1 à la fin à gauche) mais je pourrais toujours t'en rajouter, des 9: il y en a une infinité. Tu ne pourras donc pas "atteindre" ce 1.. Est-il là finalement?

Je ne sais pas si ce que je viens de dire est tout à fait correct, mais c'est tout simplement ma propre interprétation fondée sur les posts de mon ancien topic sur 0,999...=1

par **Doraki** » 26 Nov 2010, 19:48

Lostounet a écrit:Ici, si 10 + 100 + 10000... = 11111..
x = 11111..
9x = 99999...
9x + 1 = 9999... + 1

Tu as mis tous les points de suspension du mauvais coté :hum:

par **Lostounet** » 26 Nov 2010, 19:54

Doraki a écrit:Tu as mis tous les points de suspension du mauvais coté :hum:

Oui en effet, je corrige, c'est une erreur flagrante:

Ici, si 1 + 10 + 100 + 100 + 1000 + ... = ...11111
x = ...11111
9x = ...99999
9x + 1 = ...9999 + 1

Mais la démarche est-elle cohérente?

par **beagle** » 26 Nov 2010, 19:56

Le jour où le diable me propose un contrat qui met sur mon compte bancaire,1+10+100+1000+
je lui laisse le temps de remplir le compte,mème pas grave si je meurs avant la fin,

dès que la banquier me dit que je suis à découvert de 1/9,
c'est 1/9 du premier euro,
pas trop d'angoisse de couverture.

par **Ben314** » 26 Nov 2010, 21:53

Lostounet a écrit:On pourrait peut-être rapprocher ça au fameux 0,9999... = 1

On peut effectivement un peu "rapprocher" les deux méthodes, mais il y a (surtout pour des Collégiens/Lycéens) une trés grosse différence : 0,9999... est un "vrai" nombre qui correspond à l'idée que l'on donne des nombres à l'école (ou à celle que l'on a dans la vie courante).
Alors que ...11111, lui n'est pas un "vrai" nombre dans le sens que lorsque l'on vous parlera de limites au lycée, on vous dira clairement que la suite 1, 11, 111, 1111, etc n'a pas de limite dans l'ensemble des réels.
Il faut inventer un ensemble "plus gros" que les entiers et de nature trés trés différente de celle des entiers pour donner un sens à ...111111.
Par exemple, avec ce nouvel ensemble, on peut faire des truc qui ressemblent un peu à de la géométrie, mais dans laquelle tout les triangles sans exeptions sont isocéles (c'est assez pratique...)

par **beagle** » 26 Nov 2010, 22:04

Je n'ai pas les connaissances de Doraki et Ben sur ces nombres,
mais me semble foireux au niveau signification le fait que x = 10x je laisse le 1 de coté.
Lorsque l'on regarde le nombre de points infinis d'un segment,
on montre qu'avoir la moitié de points est égal à avoir 4 fois plus de points.
Et un ou quelques en plus...

A partir de là les additions et multiplications dans l'infini, mouais, mouais,...

par **Ben314** » 26 Nov 2010, 22:20

beagle a écrit:Je n'ai pas les connaissances de Doraki et Ben sur ces nombres,
mais me semble foireux au niveau signification le fait que x = 10x je laisse le 1 de coté.
Lorsque l'on regarde le nombre de points infinis d'un segment,
on montre qu'avoir la moitié de points est égal à avoir 4 fois plus de points.
Et un ou quelques en plus...

A partir de là les additions et multiplications dans l'infini, mouais, mouais,...

Justement, si on veut pouvoir faire des "vrais calculs" avec des "nombres" (ne pas oublier les guillemets) tels que ....11111, il ne faut pas simplement voir ce nombre comme "infini" mais comme faisant partie d'une "autre catégorie" ayant ces propres propriétés.
Par exemple seul certains "nombres" seront divisible par 2 ou par 5 (lesquels ?) mais absolument tous sont divisible par 9 ou par 7 ou par 3 (en fait par tout nombre qui n'est divisible ni par 2 ni par 5).
Peut tu par exemple me "diviser" N=....11111 par 7 ?

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