Carrer un Irrationnel = Rationnel ?

[Lostounet]

Bonsoir à tous!
Vous allez bien? Moi, je révise pour mon brevet

Mais en fait, je me pose une questions, plus ou moins intéressante!

En carrant un irrationnel, obtient-on forcément un rationnel?
La réponse est surement non, puisque par exemple:

=

Or étant un irrationnel, et aussi, donc la proposition avancée est fausse.
Cependant, le problème c'est que, il me semble avoir lu quelque part que pi est un nombre "transcendant" - Je ne sais pas si ça a un rapport avec ça, mais peut-être que pi n'est pas un bon exemple pour réfuter cette thèse.

Peut-on carrer pi jusqu'à obtenir un nombre rationnel?

Qu'en pensez-vous ?

[Zweig]

Salut,

Tu as déjà vu la notion de polynôme il me semble. Un nombre est dit transcendant s'il n'existe pas un polynôme à coefficients entiers tel que . Dans le cas contraire, un tel nombre est dit algébrique.

On montre que tout nombre transcendant est irrationnel. est effectivement transcendant (Hermite, 1873)

Donc ton assertion "En carrant un irrationnel, on obtient forcément un rationnel" est fausse et l'exemple que tu as donné est tout à fait valable

[Zweig]

Sinon, je-ne-sais-plus-qui (Lindemann peut-être ?) a montré que toutes les puissances de étaient irrationnelles, ce qui répond à ta deuxième interrogation.

[Doraki]

Si x est un irrationnel positif alors sa racine carrée y est irrationelle aussi, et y² = x est irrationnel.

[Lostounet]

La notion de polynôme est toujours un peu confuse dans ma tête :triste: .. En revanche, il est dommage que les preuves des grands mathématiciens me soient inaccessibles pour le moment :(..

Par exemple:
(;)3 + ;)2)² = 3 + 2 + 2;)6 = 5 + 2;)6, qui est un irrationnel.

[Zweig]

Un polynôme est tout simplement une fonction de la forme :



les sont les coefficients, le degré de .

[Zweig]

Certes, ton exemple donne raison à ton assertion, disons plutôt que "Un irrationnal² est-il toujours un rationnel ?" est fausse.

[Lostounet]

Quand j'entends polynôme, je vois ça:
P(x) = ax² + bx + c.. (Second degré - Standard)
Comment passe-t-on à la notation que tu as donnée?

[Zweig]

Plus généralement,

est rationnel si et seulement si l'est, c'est-à-dire (valuation -adique de ) est un nombre pair, c'est-à-dire, si l'exposant de (premier) dans la décomposition en facteurs premiers de est un nombre pair, pour tout nombre premier

[Zweig]

Ca c'est un cas particulier : c'est un polynôme de degré 2 ; , et

[Lostounet]

Plus généralement,

est rationnel si et seulement si l'est, c'est-à-dire (valuation -adique de ) est un nombre pair, c'est-à-dire, si l'exposant de (premier) dans la décomposition en facteurs premiers de est un nombre pair, pour tout nombre premier

Généralement, quand on dit "c'est-à-dire" c'est pour faciliter :ptdr:
Je conçois ce que tu dis, avec des exemples numériques.
(;)4 + 9)² = 25
36 = 6 ..

Peut-on dire que si (;)a + b)² est un carré parfait, alors ab est un entier naturel? :id:

[Zweig]

Le "càd" est en fait la définition de la valuation -adique, donc c'est la même chose, mais reformulée en français,comme je pense très bien que tu n'as jamais entendu parler de ça

[Zweig]

En fait, je me suis mal exprimé. Montrer que est un rationnel (en fait donc, un entier) revient à montrer que est un entier (forcément, car on montre que, plus généralement, (racine n-ième) est soit un entier soit un irrationnel, avec naturel, mais ça se "sent" quand même "avec les mains")

[nodjim]

Les racines énièmes des rationnels constituent, dans l'ensemble des irrationnels, un tout petit groupe de rien du tout.