Suite et nombre rationnel ou irrationnel

Discussion générale entre passionnés et amateurs de mathématiques sur des sujets mathématiques variés
Rouvire
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Suite et nombre rationnel ou irrationnel

par Rouvire » 08 Jan 2015, 15:05

Bonjour,
Je me donne un nombre fini dans N* et écrit en base 2. Je cherche si je retrouve sa séquence de 1 et de 0 dans des nombres irrationnels eux aussi écrits en base 2.
1) si je prends le nombre en base 2: 0,11011100101110111... (soit du type 0,1234567... en base 10) il est irrationnel et par définition je trouverai la séquence de 0 et 1 de mon nombre dedans (je la trouverai même une infinité de fois). Maintenant si je prends les nombres Pi ou e ou Racine de 2 ou Phi (le nombre d'or) écrits sous forme de développements infinis en base 2 est-ce-que je suis sûr de retrouver dans ces développements ma séquence de 0 et de 1? Par contre si je construis le nombre 0,10100100010000100000... (du type 0,248163264... en base 10) je pense qu'il est irrationnel et on ne trouvera jamais dans son développement le nombre 11 (3 en base 2).
2) on voit un programme qui produit une suite infinie de 0 et de 1 (0,11001010...). On est sûr que le programme ne peut pas produire 3 fois de suite le même digit (on ne peut pas trouver 3 zéros ou 3 uns consécutifs). Est-ce-que le nombre produit peut être irrationnel? (si oui est-ce-qu'il y a une construction?)



Doraki
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par Doraki » 08 Jan 2015, 15:22

Oui il y a une différence entre être irrationnel et être un "nombre univers" (ici en base 2)
On ne connaît pas de nombre univers qui ne soit pas défini exprès pour en être un (et j'imagine que la situation est la même pour les nombres non univers)
Cependant, au sens de la théorie de la mesure, les nombres non univers sont de mesure nulle, et donc "presque tous" les nombres sont des nombres univers (dans toutes les bases en même temps).
Si tu tires un nombre au sort en tirant ses chiffres aléatoirement les uns après les autres, tu obtiens un nombre univers avec probabilité 1

Donc tu prends n'importe quel nombre irrationel classique (sqrt(2), e , pi, phi ...) on pense bien que c'est un nombre univers, mais personne n'a le début de l'ombre d'une preuve.

Rouvire
Membre Naturel
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par Rouvire » 08 Jan 2015, 17:37

Merci,
Si je comprends bien, un nombre univers est un nombre irrationnel et dans ce nombre irrationnel on pourra toujours trouver n'importe quelle suite finie de digits.
Effectivement si on tire à pile ou face un nombre (avec par exemple P=0 et F=1) la probabilité de tirer à un moment n'importe quelle suite finie de 0 et de 1 n'est jamais nulle (et si on attend suffisamment longtemps on l'obtiendra) et donc le nombre formé par une infinité de tirages P/F est univers.
Maintenant si j'oriente le tirage en disant que si j'ai 3 tirages consécutifs de P ou de F alors je change la règle en disant qu'alors pour les prochains tirages on aura P=1 et F=0 (j'inverse). Le nombre formé ne sera pas univers mais est-ce-qu'il pourra rester irrationnel?

Doraki
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par Doraki » 08 Jan 2015, 18:11

oui il y a très très très très peu de nombres rationnels.
Ils correspondent aux suites de chiffres qui sont périodiques à partir d'un certain rang.

Rouvire
Membre Naturel
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par Rouvire » 08 Jan 2015, 18:36

Merci,
Ce que je cherche c'est savoir s'il y a une sorte de point "limite" d'orientation du tirage P/F qui ferait que le nombre généré ne soit plus irrationnel.

 

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