Module simple

Réponses à toutes vos questions après le Bac (Fac, Prépa, etc.)
Avatar de l’utilisateur
alm
Membre Relatif
Messages: 334
Enregistré le: 15 Jan 2009, 03:00
Localisation: Salé, Maroc

Re: Module simple

par alm » 05 Fév 2016, 14:15

Le fait de poser la question : L'espace vectoriel nul a -t-il une base inspire que la réponse n'existe pas encore ou qu'il en existe un certain nombre et on cherche à savoir les choix des gens.
Pour moi, je dis que la réponse dépends des définitions adoptées.
Ceux qui parlent de famille indexée par le vide et que la somme vaut 0 on rigoureusement répondu à la question par oui.
Ceux qui n'admettent pas de parler de la somme d'une telle famile (elle n'existe pas), répondent par non.
A vrai dire il n'y a pas de problème pour les premiers car au pire des cas ils vont poser ça par définition.

Pour les secrets et les étudiants, tu as peut être mal compris les propos ci-dessus: En effet, il n'y a pas de secret ni rien dans la chose: il y'a une enchainement a respecter quand on a affaire à un débutant:
On définit la dimension d'un espace vectoriel comme suit:
Soit E un espace vectoriel: Si admet une base à éléments avec n non nul, on dit que .
Si on définit . Sinon, on dit que est de dimension infini ( ou n'est pas de dimension finie).

Je ne parle pas de la base de mais ce n'est pas un secret, puisque n'importe quel étudiant peut , par des recherches au hasard trouver ça, mais j'arrête le contrat avec mes étudiants à un niveau bien determiné.
L'experience montre qu'on n'a pas besoin de cette base vide. La dimension elle oui: quand on traitre des relations entre dimensions, on peut avoir des espaces nuls; le fait de définir la dimension nulle dispense d'éventuelles discussions de cas.
Toutefois(et cela arrive), si des étudiants posent le problème, rien ne m'empêche de discuter avec eux , en leur indiquant que par exemple, Bourbaki (ou Dieudonné ou ...) a définit la notion de famille indexée par le vide et ce que signifie la somme d'une famille vide, de ceette façon on peut conclure que cette famille vide est rigoureusement la base du nul.
Voilà, sans chercher à donner plus d'ampleur à ce sujet car d'ailleurs l'espace nul est connu lui même et abordable . Le fait de parler inutilement sur ses accessoirs c'est peut être une perte inutile de temps. Evidement au besoin , personne ne peut empêcher personne d'utiliser cette base vide.



Robot

Re: Module simple

par Robot » 05 Fév 2016, 15:38

Je trouve qu'on devrait aller un peu plus loin dans cette voie.
Une famille, tout le monde sait que ça se compose au moins de deux personnes, et quand on fait une combinaison, c'est toujours avec plusieurs composants. Donc ça serait surcharger conceptuellement les étudiants que de de leur dire que est une famille de vecteurs ou que est une combinaison linéaire de vecteurs. Il vaut donc mieux, pour les étudiants qui commencent l'algèbre linéaire, éviter de leur dire qu'une droite vectorielle a une base et dire plutôt que, par convention, la dimension d'une droite vectorielle est 1.

Les étudiants de fac et de prépa font aussi un peu (ou pas mal) d'informatique. En info, ils voient le type de donnée "liste", et il est inconcevable que ce type de donnée ne contienne pas la liste vide [ ] (je l'ai déjà dit, mais imagine-t-on écrire un programme en python pour fabriquer un résultat sous forme de liste, sans pouvoir initialiser avec la liste vide ?). Ils verraient donc ce concept de liste vide en informatique , et en mathématiques on s'interdirait de parler de famille vide ? C'est du plus haut ridicule. Une base d'un espace vectoriel de dimension finie, c'est rien de plus qu'une liste de vecteurs.
Difficile de concevoir que la somme d'une famille vide de vecteurs soit 0 ? C'est une plaisanterie, mais je ne détaille pas plus.

Il n'y a pas à s'appesantir sur la base de l'espace vectoriel nul et les familles vides. Mais les exclure est une erreur, voire un crime. Remplacer les énoncés "tout espace vectoriel de dimension finie a une base" ou " de toute famille génératrice on peut extraire une base" par "tout espace vectoriel non nul de dimension finie a une base" ou "de toute famille génératrice on peut extraire une base, sauf pour l'espace vectoriel nul" (ben oui, il faut bien le préciser, sinon on pourrait croire qu'on va extraire une base de l'espace vectoriel nul à partir de la famille génératrice réduite au vecteur nul, ce qui est faux comme chacun sait !), c'est faire croire aux étudiants qu'il y a quelque chose de très mystérieux et très compliqué avec l'ensemble vide et l'espace vectoriel nul, si même le prof prend bien soin de l'éviter. Et alors on aura gagné : ils seront effectivement convaincus que c'est trop difficile à concevoir pour eux.

A croire que l'introduction du 0, cet instrument du diable, n'a pas encore été tout à fait digérée.

Ah, au fait : j'ai enseigné de nombreuses fois le cours de première année, avec bien sûr l'introduction de l'algèbre linéaire. Inutile donc de me faire le coup de "mon pauvre, tu parles sans savoir, tu n'as pas l'expérience de l'enseignement".

Avatar de l’utilisateur
Ben314
Le Ben
Messages: 21481
Enregistré le: 11 Nov 2009, 23:53

Re: Module simple

par Ben314 » 05 Fév 2016, 18:01

Je te répondrais la même chose qu'à PSEUDA dans le fils sur les infinitésimaux : avec tes étudiants, tu fait ce que tu veut...
Mais, perso, lors de mes premières années d'enseignement, j'abordais sans problème cette notion là en cours et... j'ai changé d'avis depuis...
Et je rajouterais que, vu l'évolution de l'auditoire, ça m'étonnerais fort que je rechange d'avis dans le futur.

Robot a écrit:...Et alors on aura gagné : ils seront effectivement convaincus que c'est trop difficile à concevoir pour eux.
Et ça, ça montre trés clairement qu'on pas le même auditoire : les miens, sans que je leur parle de l'espace vectoriel engendré par l'ensemble vide, il y en a environ 90% qui sont (au début) convaincus que l'algèbre linéaire "c'est trop difficile à concevoir pour eux" (c'est un peu mieux à la fin, mais c'est pas génial...)
On peut évidement discuter concernant les 10% qui ne trouvent pas ça insurmontable, mais vieillerie oblige, je suis de plus en plus convaincu de la justesse de l'adage qui dit que le prof, il doit bosser pour ceux "du milieu" : les meilleurs ils s'en sortent même avec un mauvais prof et les plus mauvais, hélas...
Qui n'entend qu'un son n'entend qu'une sonnerie. Signé : Sonfucius

Archytas
Habitué(e)
Messages: 1223
Enregistré le: 19 Fév 2012, 15:29

Re: Module simple

par Archytas » 05 Fév 2016, 19:33

@Ben oui en effet j'ai oublié l'hypothèse "simple" désolé :/
J'imagine que c'est important puisque sinon l'énoncé n'est pas vrai... cependant moi ça m'aide pas trop haha.
J'ai presque envie de dire que NE est un sous module de E mais après je vois pas trop comment montrer que c'est un sous module STRICT de E. On pourrait supposer par l'absurde que NE = E donc ........ impossible ! Donc NE = {0} il me manque juste les ......
Je suis complétement à la ramasse sur la théorie des modules et des représentations... J'ai beau bosser faudrait un miracle pour que je réponde correctement à une question lors du partiel haha

Archytas
Habitué(e)
Messages: 1223
Enregistré le: 19 Fév 2012, 15:29

Re: Module simple

par Archytas » 05 Fév 2016, 19:44

Autre chose, vous savez ce que c'est qu'un 2-groupe ?
"Son groupe de Galois est un quotient de G, c'est donc un 2-groupe, donc il existe une suite de sous groupes Gi de G telle que G0={1}, Gn=Gal(K/Q) et |Gi|=2^i"
Un 2-groupe c'est un 2-Sylow non ? L'auteur utilise implicitement le théorème de Sylow ? (Désolé de poser cette question qui a rien à voir mais je veux pas ouvrir de nouveau sujet pour ça)

Avatar de l’utilisateur
Ben314
Le Ben
Messages: 21481
Enregistré le: 11 Nov 2009, 23:53

Re: Module simple

par Ben314 » 05 Fév 2016, 20:08

Archytas a écrit:On pourrait supposer par l'absurde que NE = E donc ........
Déjà, j'aime pas l'absurde donc je préfère une bonne vieille contraposée bien plus "parlante" :
Supposons que tu ait un R-module simple E, un élément de E et un élément de R tel que .
Que peut tu dire du noyau du morphisme ?
Donc ?

Sinon, concernant l'expression 2-groupe, ça me dit rien et ça m'étonne un peu que ce soit des 2-sylow vu que c'est l'expression on ne peut plus standard pour parler de ça.
Modifié en dernier par Ben314 le 05 Fév 2016, 20:25, modifié 1 fois.
Qui n'entend qu'un son n'entend qu'une sonnerie. Signé : Sonfucius

Robot

Re: Module simple

par Robot » 05 Fév 2016, 20:24

Pourquoi contraposer ? On peut partir juste comme ça :
Soit un élément non nul de . Que dire du noyau du morphisme ?

Par ailleurs, si est un nombre premier, un -groupe est un groupe dont tout élément à un ordre qui est une puissance de . Si le groupe est fini, ça revient à dire que l'ordre du groupe lui-même est une puissance de .
Modifié en dernier par Robot le 05 Fév 2016, 20:28, modifié 1 fois.

Avatar de l’utilisateur
Ben314
Le Ben
Messages: 21481
Enregistré le: 11 Nov 2009, 23:53

Re: Module simple

par Ben314 » 05 Fév 2016, 20:28

Effectivement, l'hypothèse n'est pas vraiment utile...
Qui n'entend qu'un son n'entend qu'une sonnerie. Signé : Sonfucius

Robot

Re: Module simple

par Robot » 05 Fév 2016, 20:50

les miens, sans que je leur parle de l'espace vectoriel engendré par l'ensemble vide, il y en a environ 90% qui sont (au début) convaincus que l'algèbre linéaire "c'est trop difficile à concevoir pour eux" (c'est un peu mieux à la fin, mais c'est pas génial...)

Eh bien justement, ce que tu dis là montre bien que la difficulté n'est pas dans le concept de famille vide, elle se situe bien ailleurs et bien avant.
D'après mon expérience, une grande difficulté pour les étudiants est d'identifier le type des objets qu'ils manipulent.
En algèbre linéaire il y a entre autres le type "espace, sous-espace vectoriel", le type "scalaire", le type "vecteur", le type "famille ou liste de vecteurs". Le type "vecteur" en particulier pose de gros problèmes quand il peut se réaliser suivant les exercices par des n-uplets de réels, des polynômes, des fonctions, des matrices ...
En ce qui concerne les bases, une fois que l'étudiant a identifié que c'est du type "liste de vecteurs", je n'ai jamais constaté de réelle difficulté à concevoir que cette liste puisse être vide.
Encore une fois , il ne s'agit bien évidemment pas de passer son temps là-dessus, mais simplement d'éviter de compliquer inutilement les énoncés par des exceptions qui n'ont pas lieu d'être.

Archytas
Habitué(e)
Messages: 1223
Enregistré le: 19 Fév 2012, 15:29

Re: Module simple

par Archytas » 06 Fév 2016, 02:08

Et bien... le noyau du morphisme sera un idéal de notre anneau R, quant à l'image ce sera un sous module de E donc E ou {0} si x est non nul on aura donc 1.x dans l'image donc notre morphisme est toujours surjectif quelque soit x. Mais je vois pas le rapport avec le radical de Jacobson :( ! C'est un idéal maximal le noyau c'est ça ? Je vois pas trop pourquoi si c'est le cas

Archytas
Habitué(e)
Messages: 1223
Enregistré le: 19 Fév 2012, 15:29

Re: Module simple

par Archytas » 06 Fév 2016, 02:14

Quant aux p-groupes vu la gueule de ce qui précède je pencherais plus pour les p-Sylow puisque notre groupes en question est une puissance de 2 :
http://blogperso.univ-rennes1.fr/jeremy ... galois.pdf
page 12 fin de la démonstration du théorème de Gauss 3.4 merci encore pour votre aide

Doraki
Habitué(e)
Messages: 5021
Enregistré le: 20 Aoû 2008, 13:07

Re: Module simple

par Doraki » 06 Fév 2016, 02:44

Normalement, un p-groupe c'est un groupe dont le cardinal est une puissance de p.

Archytas
Habitué(e)
Messages: 1223
Enregistré le: 19 Fév 2012, 15:29

Re: Module simple

par Archytas » 06 Fév 2016, 12:15

Ok d'accord, merci :) ! Je vais partir sur ça alors !
Et pour les modules, quelqu'un :) ?

Robot

Re: Module simple

par Robot » 06 Fév 2016, 14:47

Je t'avais déjà écrit qu'un -goupe fini est un groupe d'ordre une puissance de . Tu avais zappé ?
Pour les modules, essaie de ne pas rester les deux pieds dans le même sabot !
Le noyau de est un idéal à gauche, OK. Quelques questions peut-on se poser ensuite :
est-il surjectif ? Qu'est-ce qu'on peut en conclure sur la structure de ?

Archytas
Habitué(e)
Messages: 1223
Enregistré le: 19 Fév 2012, 15:29

Re: Module simple

par Archytas » 06 Fév 2016, 19:01

J'aime autant avoir plusieurs avis comme certains étaient hésitant :/...
J'ai déjà dit plus haut que les morphismes étaient tous surjectifs... mais je vois pas quoi en déduire ! En gros notre E est finiment généré et tous ses éléments non nuls sont des bases.
Sinon NE est donc aussi sous module de E il faudrait donc montrer qu'il y a au moins un élément non nul de E qui est pas dans NE. On peut poser le même morphisme : N -> E, x -> x.e pour un élément de E et montrer que ces morphismes sont pas tous surjectifs.
Tous les noyaux sont des idéaux, comme c'est un idéal il est contenu dans un idéal maximal et... je vois pas comment continuer

Robot

Re: Module simple

par Robot » 07 Fév 2016, 01:31

Un morphisme surjectif de module de , de noyau , ça ne te dit rien sur la structure de ? Et tu ne peux pas dire des choses sur le rapport entre sous-modules de et certains idéaux de ?

Par ailleurs : " tous ses éléments non nuls sont des bases.", non, sûrement pas. n'a rien a priori d'un module libre !

Archytas
Habitué(e)
Messages: 1223
Enregistré le: 19 Fév 2012, 15:29

Re: Module simple

par Archytas » 07 Fév 2016, 02:16

Robot a écrit:Un morphisme surjectif de module de , de noyau , ça ne te dit rien sur la structure de ? Et tu ne peux pas dire des choses sur le rapport entre sous-modules de et certains idéaux de ?

On a R/ker(phi) isomorphe à E mais je ne vois pas quoi dire de plus et je ne trouve pas de rapport entre les sous modules de E et certains idéaux de R désolé :/

Robot

Re: Module simple

par Robot » 07 Fév 2016, 11:03

Archytas a écrit:On a R/ker(phi) isomorphe à E mais je ne vois pas quoi dire de plus et je ne trouve pas de rapport entre les sous modules de E et certains idéaux de R désolé :/

On peut identifier à , et ainsi les sous-modules de sont les mêmes que les sous-modules de . Maintenant, tu ne vois toujours pas le rapport entre les sous-modules de et certains idéaux de (rappel : idéaux de = sous-modules de ).

Archytas
Habitué(e)
Messages: 1223
Enregistré le: 19 Fév 2012, 15:29

Re: Module simple

par Archytas » 07 Fév 2016, 12:57

D'accord donc R/ker(Phi) n'a pas de sous idéaux donc ker(phi) est un idéal maximal donc on a
et réciproquement chaque Ker(phi) est contenu dans un idéal maximal donc on a l'égalité !(?) Donc en fait
donc si on prend un élément alors x est dans donc xy=0. C'est bon m'sieur :D ?!

Robot

Re: Module simple

par Robot » 07 Fév 2016, 14:29

Non, je ne dirais pas que c'est bon. C'est à peu près ça.
Ne peux-tu pas te concentrer et apporter un peu de soin à ce que tu écris ?
Archytas a écrit:D'accord donc R/ker(Phi) n'a pas de sous idéaux

Un idéal, c'est un sous-module de R, pas de R/ker(Phi).
Archytas a écrit:

C'est quoi ce associé à un élément de l'anneau ?
Archytas a écrit:Donc en fait

C'est vraiment ça que tu voulais écrire ? Une égalité entre ce sous-module de E et cet idéal de R ?
Archytas a écrit:donc si on prend un élément alors x est dans donc xy=0. C'est bon m'sieur :D ?!

Alors pour , est un élément de R et pour , est un élément de E ? Quelle cohérence ?

 

Retourner vers ✯✎ Supérieur

Qui est en ligne

Utilisateurs parcourant ce forum : Aucun utilisateur enregistré et 73 invités

Tu pars déja ?



Fais toi aider gratuitement sur Maths-forum !

Créé un compte en 1 minute et pose ta question dans le forum ;-)
Inscription gratuite

Identification

Pas encore inscrit ?

Ou identifiez-vous :

Inscription gratuite