Matrices à coefficients dans un module

[Unetudiant]

Bonjour à tous,

Je suis étudiant et je fais une recherche sur les matrices dont les coefficients sont pris non pas dans un corps, mais dans un module, tel que Z/nZ, avec n non premier.

Dans ce cas, toute la théorie qu'on nous enseigne, telle que : Les colonnes sont liées <=> la matrice n'est pas inversible, est fausse.

Le calcul matriciel semble compliqué avec ce type de matrices.

Quelqu'un s'y connait-il dans ce genre de matrices, ou est-il possible de trouver des livres qui en parlent? Pour ma part je ne connais pas trop les milieux mathématiques, donc si vous vous y connaissez plus, ca serait sympa de m'aider.

Merci!

[Nightmare]

Salut :happy3:

Cette théorie peut être intéressante, par exemple les matrices sur Z, on a des propriétés assez jolies comme celle qui énonce qu'une matrice de Mn(Z) est inversible ssi son déterminant vaut 1 en valeur absolue. On peut alors étudier le groupe spécial linéaire de Z (matrices de déterminant 1) etc. Essaye de regarder sur google tu dois trouver des choses.

[magnolia86]

Pour toute matrice à coefficients dans un anneau commutatif A (comme Z ou Z/nZ) , une matrice est inversible dans M_n(A) si et seulement si son déterminant est inversible dans A. (*)

Plus précisément,
-- une matrice de M_n(A) est "injective" si et seulement si son déterminant est régulier dans A.
-- une matrice de M_n(A) est "surjective" si et seulement si son déterminant est inversible dans A.

Donc il reste encore l'équivalence entre surjectivité et bijectivité pour les endomorphismes de A^n.

Il existe plein de résultats sur les matrices à coefficients dans des anneaux (commutatifs ou pas). Malheureusement, sous les mains, je n'ai pas de références (il en existe évidemment)



(*) c'est d'ailleurs bien dommage que les étudiants apprennent en L1 qu'une matrice est inversible ssi son déterminant est non nul. Car cette phrase a plutôt tendance à rester ancrée, et devient complètement fausse sur les anneaux. C'est pourtant pas difficile de dire inversible ssi inversible (et ça semble tellement logique). Exactement comme le discriminant d'un trinome du second degré sur R : l'équation a 2 solutions ssi son discriminant est positif. Ce serait tellement plus universel (et plus significatif) de dire 2 solutions ssi discriminant carré... (**)

(**) attention quand même aux anneaux tels que 2=0.

[abcd22]

Bonjour,
Tu veux sûrement parler de matrices à coefficients dans un anneau et non sur un module. En cherchant « cours anneaux modules » sur google j'ai trouvé un cours (le chapitre sur les modules sur les anneaux principaux) et un autre (chapitre sur les anneaux et modules), qui contiennent tous les deux un théorème de réduction des matrices à coefficients dans un anneau principal.
Comme livre, dans _Algèbre_ de Lang, le chapitre sur les matrices parle des matrices à coefficients dans un anneau, le chapitre suivant (représentation d'un endomorphisme) se place aussi parfois sur des anneuux (en fait Lang essaie toujours de mettre le moins d'hypothèses possible), le chapitre sur les modules peut aussi servir.

[ThSQ]

Bmatrices dont les coefficients sont pris non pas dans un corps, mais dans un module, tel que Z/nZ, avec n non premier.

Tu veux sans doute dire à valeurs dans un anneau commutatif (auquel les matrices forment un module), il faut une loi de multiplication sinon ...

J'ai vu un bon livre là-dessus à la docu :

http://www.amazon.com/Matrices-Commutative-Rings-Applied-Mathematics/dp/0824787552

Il faut quand même que l'anneau ait des propriétés de régularité minimales (style noethérien pour attendre voire principal) pour pouvoir avoir des résultats intéressants.

[Unetudiant]

Merci beaucoup pour toutes ces reponses rapides et tres interessantes.
Je n'entre qu'en Spé, donc je n'ai pas compris ce que tu as dit sur les "propriétés de régularité minimales (style noethérien pour attendre voire principal)" ThSQ. Peux-tu développer un peu ce point? Merci.

Un exemple tout simple, comment choisir 4 nombres de Z/nZ pour remplir une matrice 2x2 qui soit inversible dans cet anneau? J'ai beau essayer de trouver une règle similaire à celle de mon cours, je n'en trouve pas...

Je vais étudier vos réponses (ca risque de prendre du temps...)

En tout cas, merci!

[magnolia86]

Merci beaucoup pour toutes ces reponses rapides et tres interessantes.
Je n'entre qu'en Spé, donc je n'ai pas compris ce que tu as dit sur les "propriétés de régularité minimales (style noethérien pour attendre voire principal)" ThSQ. Peux-tu développer un peu ce point? Merci.

Personnellement, c'est la première fois que j'entends parler de noethérianité en algèbre linéaire. :hein:

Un exemple tout simple, comment choisir 4 nombres de Z/nZ pour remplir une matrice 2x2 qui soit inversible dans cet anneau? J'ai beau essayer de trouver une règle similaire à celle de mon cours, je n'en trouve pas...

ben ad-bc=1 !?

[Unetudiant]

ben ad-bc=1 !?

Pas évident à résoudre cette equation diophantienne !! Et puis, il n'y a pas équivalence, puisque 1 n'est a priori pas le seul inversible de l'anneau que tu considères. Donc il n'y a peut-être pas de règle générale...

[ThSQ]

propriétés de régularité minimales (style noethérien pour attendre voire principal)" ThSQ. Peux-tu développer un peu ce point? Merci.

C'est juste que si tu travailles dans Mn(A), avec A un anneau commutatif général tu vas pouvoir démontrer des trucs mais il faudra tôt ou tard ajouter des hypothèses sur A (anneau principal est une hypothèse raisonnable, et la noethérianité peut servir dans les idéaux annulateur !)

Un exemple tout simple, comment choisir 4 nombres de Z/nZ pour remplir une matrice 2x2 qui soit inversible dans cet anneau? J'ai beau essayer de trouver une règle similaire à celle de mon cours, je n'en trouve pas...

Théorème : (A anneau commutatif (unitaire)) est inversible ssi det(A) est inversible dans A.

Par exemple une matrice à coefficients dans Z/nZ est inversible ssi son déterminant (pris comme entier) est premier avec n.

[magnolia86]

Pas évident à résoudre cette equation diophantienne !! Et puis, il n'y a pas équivalence, puisque 1 n'est a priori pas le seul inversible de l'anneau que tu considères. Donc il n'y a peut-être pas de règle générale...

oula, équation diophantienne ... pas de gros mot, stp :ptdr:

Par exemple (ce n'est qu'un exemple), on a , et cela un peu partout dans la nature :we:

Edit : ok , je viens de comprendre ce que tu voulais : pas un exemple, mais davantage.

(...) et la noethérianité peut servir dans les idéaux annulateur !)

ok là d'accord.

(Certaines recherches ont pour objectif de supprimer la condition de noethérianité, bcp trop générale, pour la remplacer par des hypothèses plus "fines".)

[Unetudiant]

Merci magnolia

Pensez-vous qu'il y a moyen d'aborder cette théorie sans me lancer dans ces cours très avancés pour mon niveau? Me connaissant, si je m'y plonge, je risque de rester dedans jusqu'à tout comprendre... (ma qualité et mon défaut...)

En tout cas, les matrices inversibles forment toujours un groupe etc. non?

Tout ce qui change, c'est les propriétés d'inversibilité des matrices, et donc l'interprétation des matrices comme équivalentes à des applications linéaires, avec bijectivité <=> inversibilité si je ne me trompe pas.
A moins qu'on considère un ensemble différent pour les applications linéaires, qui ferait que ça marche aussi...

C'est tout nouveau pour moi, donc désolé si je semble un peu ignare...

[magnolia86]

Pensez-vous qu'il y a moyen d'aborder cette théorie sans me lancer dans ces cours très avancés pour mon niveau? Me connaissant, si je m'y plonge, je risque de rester dedans jusqu'à tout comprendre... (ma qualité et mon défaut...)

la première étape est peut-être les modules de type fini sur les anneaux principaux (cf ThSQ plus haut)

Ensuite, des modules projectifs (en particulier sur les anneaux locaux)...

Mais c'est sans fin .......

En tout cas, les matrices inversibles forment toujours un groupe etc. non?

oui.

Tout ce qui change, c'est les propriétés d'inversibilité des matrices, et donc l'interprétation des matrices comme équivalentes à des applications linéaires, avec bijectivité inversibilité si je ne me trompe pas.
A moins qu'on considère un ensemble différent pour les applications linéaires, qui ferait que ça marche aussi...

bijectivité de matrice inversibilité du déterminant, il y a de ça, mais c'est loin d'être aussi simple en général. Par exemple, pour un endomorphisme d'un module, il n'y a pas forcément d'histoire de matrice associée, car les modules ne sont pas forcément libres (ils n'ont pas toujours de base sur l'anneau...). Donc pas de déterminant possible, etc...

Dans ce genre, plein de problèmes vont surgir à cause du "manque" d'inverse dans un anneau. Mais c'est là qu'on apprécie la richesse des situations... alors que les espaces vectoriels (de dim finie) sur les corps, c'est fade ! :id:

[ThSQ]

Oui c'est toujours un groupe, et on conserve le lien inversible <=> bijectif.

Tu as besoin de ces notions dans quel contexte en physique ??


Edit : grilled

[Unetudiant]

Non, c'est pas en physique, c'est pour mon TIPE, je veux que la partie interessante soit sur les matrices a coefficients dans Z/nZ. C'est une sorte d'extrapolation de mon sujet, qui est beaucoup plus concret, mais aborde un tout petit peu cette notion. Pour le rendre plus interessant, je prevois une grosse partie (plus de la moitié) sur ces jolies matrices!

Donc c'est pour ça que je ne veux pas non plus avoir à exposer un truc trop long, juste les bases du calcul matriciel, mais apparemment c'est le plus dur :mur: .

Si vous avez des idées, n'hésitez pas. En attendant je vais aller passer la nuit sur vos modules. Merci!!!

[Unetudiant]

Bonjour à tous. C'est bon je pense avoir compris certaines idées concernant les modules et les anneaux principaux.

Ne serait-ce que pour inverser une matrice inversible dans Z/nZ, je lutte.
Dans le cas general, il faut résoudre dans Z/nZ le système suivant MX=Y
Comment faire?

J'ai trouvé un exemple de ce type de système : http://www.cmi.univ-mrs.fr/~coulbois/2007/alg-arith/td2-M13-2007.pdf
Exercice 6 (iv).

C'est donc faisable. Il se peut donc que je trouve une formule qui donne l'inverse d'une matrice inversible dans Z/nZ, tout comme on en trouve une facilement dans R.

Merci de votre aide!

[leon1789]

Il se peut donc que je trouve une formule qui donne l'inverse d'une matrice inversible dans Z/nZ, tout comme on en trouve une facilement dans R.

Oui, c'est exactement comme dans R (ou n'importe quel autre anneau) :


Cela montre que si det(M) est inversible alors M l'est aussi, et alors son inverse est .

[Unetudiant]

Mais c'est bizare parce que j'ai deja essayé d'appliquer cette formule, et les coefficients de l'inverse ne sont pas forcément dans Z/nZ.

J'imagine qu'il faut cuisiner un peu apres, en multipliant les colonnes par un scalaire pour les faire retomber dans l'ensemble voulu, mais dans cette optique, peut-on fabriquer une formule qui donne instantanement l'inverse, en utilisant des _ ?

[leon1789]

Mais c'est bizare parce que j'ai deja essayé d'appliquer cette formule, et les coefficients de l'inverse ne sont pas forcément dans Z/nZ.

heu... fais voir un peu stp. :happy2:

[Unetudiant]

Ben par exemple, M= (23 0 )
(5 11)
det(M,Z/26Z) = 19, ce qui donne M-1 = 1/19 (11 0 )
(-5 23)

Et ce n'est même pas dans Z, donc encore moins dans Z/nZ.

Si j'ai fait une erreur, où?

Et comment l'inversion d'une matrice dans Z/nZ peut-elle se faire à la main? (style Gauss)

Merci

[leon1789]

Si j'ai fait une erreur, où?

Je pense que l'erreur, c'est que tu restes dans Z dans ta tête : il faut penser "modulo 26". Par exemple 3 est inversible modulo 26, d'inverse 9 !

Code: Tout sélectionner

M= (23  0 )
   (5   11)


, ok

Ensuite, 19 est inversible dans Z/26Z car pgcd(19,26)=1.
Modulo 26, l'inverse de 19 est (...coefficients de Bezout...)

Et ce n'est même pas dans Z, donc encore moins dans Z/nZ.

Oui, 19 n'est pas inversible dans Z, mais il l'est dans Z/26Z...