Module simple

[Archytas]

Salut,
Je bloque sur un truc bête. On a l'équivalence entre être un module semi simple et le fait que chaque sous module ait un module complémentaire. Mais dans le cas de Z+Z (somme directe) vu comme Z module je vois pas ce qui pourrait être un module complémentaire de {0}+4Z (somme directe) qui est bien un sous module de Z+Z il me semble. Vous auriez une indication ?
Edit: Oups pardon... Z+Z n'est pas semi simple désolé

[Archytas]

Coucou comme j'avais ouvert ce post j'en profite pour poser une autre question :
La l'exercice 5 du pdf je comprends pas très bien le rapport entre la bijection de I et IUI qui induit un isomorphisme entre les modules M et M+M
Moi perso j'aurais répondu {0} isomorphe à {0}+{0} ça marche pas ?
Voilà le pdf
http://webusers.imj-prg.fr/~emmanuel.lepage/TD/MM002/sol3.pdf

[alm]

Salut
Je crois que la question (ii) veut un module libre tel que
Pour l'autre question si et sont deux modules libres possédant des base et ( indexées par le même ensemble) alors il existe un unique isomorphisme tel que .

[Robot]

Le module est libre (de base ).

[alm]

Comment écrire 0 comme combinaison linéaire des 'éléments' d'une telle base?

[Robot]

Comme l'unique combinaison linéaire indexée par la famille vide, bien sûr !
Ferais-tu partie des gens pour qui l'espace vectoriel nul n'a pas de base ?

[alm]

J'accepte qu'on dise que par convention sa dimension est nulle.
Une base est une famille génératrice donc si on suppose l exisrence d une base on aura une proposition quantifié qui commence par chose que je n admet pas...

[Robot]

est une partie génératrice de l'espace vectoriel quand le plus petit espace vectoriel contenant est .
Donc est une partie génératrice de .

Dire que la dimension de l'espace vectoriel nul est n'est pas une convention : c'est l'application de la définition qui dit que la dimension d'un espace vectoriel est le cardinal d'une base de celui-ci.

Une base est une famille génératrice donc si on suppose l exisrence d une base on aura une proposition quantifié qui commence par chose que je n admet pas...

Là, ce n'est pas clair du tout. Tu peux préciser ? J'affirme qu'il n'y a absolument aucun problème logique.
La famille indexée par l'ensemble vide est libre et engendre . C'est bien une base.
Pour les combinaisons linéaires, je te renvoie aux définitions de somme indexée par un ensemble fini par Bourbaki. Dans un monoïde commutatif noté additivement (en particulier dans un espace vectoriel), la somme indexée par l'ensemble vide est par définition l'élément neutre du monoïde.

[Ben314]

chose que je n admet pas...

Pourtant, au sens de la logique du premier ordre, n'est jamais qu'un raccourci d'écriture de la proposition qui ne pose pas le moindre problème d'interprétation : cette proposition est fausse vu que, par définition de , la proposition est fausse.
De même est un raccourci d'écriture de qui est lui même un raccourci d'écriture de qui ne pose de nouveau pas le moindre problème d'interprétation : cette proposition est vraie vu que la proposition est vraie.

C'est où qu'il y a quelque chose que tu "n'admet pas" dans le laïus ci dessus ?

[Archytas]

Ah oui... donc se donner une bijection entre bases suffit toujours à avoir l'isomorphisme de modules quand ce sont des modules sur un même anneau ?
Aussi j'ai un exercice:
Soit R un anneau et N le radical de Jacobson (intersection de tous les idéaux gauches maximaux de R).
a)Montrer que pour tout E R-module on a NE={0}. Montrer que N est un idéal bilatère
b)Montrer que le radical de R/N est {0}

J'ai aucune idée de comment partir... Pour la b) j'imagine qu'il faut utiliser la a) en prenant R/N à la place de R et en trouvant un E module adapté qui aboutirait à une contradiction sans la nullité du radical de R/N

Help !

[Ben314]

Salut,
Ça fait pas franchement parti des truc que je manipule fréquemment, mais est-tu sûr de ton coup concernant le a), plus précisément n'aurais tu pas "omis" l'hypothèse que ton R-module E devait être simple pour que l'on ait N.E={0} ?

[alm]

la proposition est fausse.
C'est où qu'il y a quelque chose que tu "n'admet pas" dans le laïus ci dessus ?

La problème se pose quand on adopte la définition:
Une famille est génératrice si tout vecteur est combinaison linéaire de vecteurs de cette famille
Si est génértrice alors est combinaison linéaire d'éléments de donc justement pour des scalaires , qui est fausse puisque ça commence par

Si on adopte la définition donnée ci-dessus par Robot, le problème ne se pase plus
Le problème ne se pose pas non plus si on cerne à part le cas d'une famille vide.

[alm]

Ah oui... donc se donner une bijection entre bases suffit toujours à avoir l'isomorphisme de modules quand ce sont des modules sur un même anneau ?

Oui, on a même si et sont deux modules et si admet une base alors pour toute famille (non forcément une base) il existe une unique application linéaire de vers tel que
Si est génératrice est surjective et si est libre est injective donc si est une base alors est bijective ...

[Ben314]

pour des scalaires , qui est fausse puisque ça commence par

A mon sens, de nouveau, ta façon d'exprimer le truc en utilisant un raccourci d'écriture rend le truc "trompeur".
Déjà, avant ton gros "il existe", il me semble qu'il faudrait rajouter un
Ensuite, je pense que tu es d'accord pour dire que ton est un raccourci d'écriture pour dire que qui contient fois .
Enfin, je pense que tu est aussi d'accord (c.f. post de robot concernant les sommes sur l'ensemble vide) pour dire que, dans le cas qui nous intéresse, le qu'il faut "prendre" (dans le il existe tel que...) c'est (i.e. aucun générateur)
Donc des il y en a... zéro...

[Robot]

Il n'y a aucune raison de traiter à part le cas d'une famille vide.
alm, la formule que tu écris pour dire que le vecteur nul est combinaison linéaire de vecteurs de l'ensemble vide n'est pas correctement écrite : il manque une quantification existentielle sur l'ensemble fini qui indexe la famille, et rien n'empêche cet ensemble d'indices d'être vide. Et la somme de la famille vide de vecteurs est 0. Ton argument ne tient pas.

@archytas :

une bijection entre bases suffit toujours à avoir l'isomorphisme de modules quand ce sont des modules sur un même anneau ?

La propriété d'une base, c'est que se donner un morphisme de modules du module libre de base dans un autre module revient exactement à se donner une application ensembliste de dans .
Ton a) est sûrement faux tel que tu l'as écrit : prendre . Vérifie l'énoncé.

[alm]

Il n'y a aucune raison de traiter à part le cas d'une famille vide.
alm, la formule que tu écris pour dire que le vecteur nul est combinaison linéaire de vecteurs de l'ensemble vide n'est pas correctement écrite : il manque une quantification existentielle sur l'ensemble fini qui indexe la famille, et rien n'empêche cet ensemble d'indices d'être vide. Et la somme de la famille vide de vecteurs est 0. Ton argument ne tient pas.

Pour toi oui, mais pour des étudiants débutants (qui ont du mal à comprendre ces notions) , il serait non pédagogique de parler de ces subtilité au début. Donc , à mon humble avis, la nécessité de cerner ce cas est complétement pédagogique et vise l'étudiant en premier lieu. Les programmes officiels signalent souvent ce point.

Voici un exemple d'exposé où l'on ne parle même pas de ce cas particulier.
On trouve des livres qui le traitent séparément et d'autres qui supposent que la famille est non vides .

Cette rigueur extrême à la Bourbaki n'est pas toujours adoptée .
Par exemple la majorité des livres citent trois axiomes pour un espace topologique alors que dans Bourbaki, il n'y a que deux.
Un autre exemple : une application d'un espace vectoriel réel qui vérifie les axiomes d'une semi-norme est positive , cependant la majorité de livres ajoutent l'hypothèse 'positive' quand ils définissent une norme.

Je finis par dire que ce forum est avant tout un forum d'aide: Ma méthode personnelle est: se concentre sur la difficulté posée au membre concerné même au prix de négliger certaine subtilités ...

Pour les module libres , je fini par dire: est un module libre trivial et que l'exercice demande peut être un module libre non trivial.

[Robot]

Il n'y a pas à enfumer les étudiants avec des distinctions qui n'ont pas lieu d'être.
Ostraciser l'ensemble vide conduit à des énoncés tarabiscotés où on doit faire des cas particulier, alors qu'il n'y a aucune raison de faire un cas particulier pour l'ensemble vide : l'ensemble vide est un ensemble comme un autre.
C'est ainsi : il y a des gens qui ont peur du vide et tiennent absolument à transmettre cette peur aux étudiants. Tu n'es pas le seul, alm : je me souviens d'un projet de programme pour les classes préparatoires qui parlait de "famille d'éléments d'un ensemble indexée par un ensemble non vide". Heureusement, ça a disparu et il ne reste que "famille d'éléments d'un ensemble".
On devrait aussi bannir la liste vide en informatique, à ce compte, parce que ça risquerait de traumatiser les étudiants. Et on serait bien embêté pour écrire des programmes sans pouvoir initialiser avec la liste vide.

Heureusement, les logiciels de calcul formel n'ont pas cette pusillanimité et savent bien faire la somme d'une famille indexée par la liste vide.

[Ben314]

Il y a du vrai... et du moins vrai...
Je suis tout à fait d'accord concernant le fait que, lorsque l'on débute l'algèbre linéaire, c'est pas malin de "finasser" concernant les sommes indexées sur l'ensemble vide, MAIS, on est quand même obligé de dire que le singleton {0} est un s.e.v. de dim 0 (sinon, je te dit pas le bordel dans tout les théorème parlant de dimension) et, personnellement, bien que n'étant jamais rentré dans les détail du "pourquoi" on pose dim({0})=0 devant une classe complète, ça m'est arrivé de temps en temps de l'expliquer à la fin du cours à un étudiant venant me questionner et, face à un bon étudiant, c'est assez facile de faire comprendre pourquoi il est tout a fait logique de dire que la somme de "rien" vaut 0, par exemple en partant de x+x+x+...+x (n fois) = n.x puis en prenant bêtement n=0 pour avoir la somme de "rien" à gauche du =.

Ensuite, concernant Archytas qui est en M1 Recherche (en plus, plutôt "math pures" il me semble), il me semble que c'est pas con qu'il sache répondre de façon un peu "carrée" à la question "le A-module {0} est il libre ou pas ?" qu'il a d'ailleurs lui même posé (post du 03 Fév 2016 22:42)

P.S. : Je précise que, toute les fois que j'ai enseigné le B-A-BA de l'algèbre linéaire, c'était en première année (de fac) et avec des groupe ne se destinant pas exclusivement à faire des maths donc le "molo molo", je comprend parfaitement...

[Robot]

L'espace vectoriel nul a-t-il une base ?
Cochez la bonne réponse :
a) Non, il n'a pas de base.
b) Oui, il a une base, la base vide.
c) Oui, il a une base, mais chut ! Il ne faut le révéler qu'aux bons étudiants, sous le sceau du secret.

[Ben314]

Si tu veut réellement une réponse, je répondrait effectivement et sans la moindre hésitation c).
Bien sûr, je n'aurais pas formulé ça de la même façon, à savoir que j'aurais écrit
c) Oui, il a une base, mais face à des débutants en algèbre linéaire, on peut (voire même "on doit") se contenter de dire que dim({0})=0 est une convention.


Je sais pas à quel niveau tu as enseigné, mais l'algèbre linéaire, c'est très souvent le premier truc un peu théorique que les étudiants voient et beaucoup, beaucoup d'entre eux ont déjà un mal fou à comprendre que, ce qui est appelé "un élément de E" dans le cours (voire "un vecteur") va devenir "une suite" dans un exercice, "une fonction" dans un autre, "un polynôme" dans un troisième, etc...
Donc, à mon sens, pour ces très nombreux étudiant ayant beaucoup de mal à appréhender le concept, il vaut mieux éviter toute "surcharge théorique", même aussi bénigne (je dit bien bénigne...) que celle consistant à considérer l'espace vectoriel engendré par l'ensemble vide.
Je reprécise, au cas où ça ne soit pas clair que ce ne sont absolument pas des considérations mathématiques, mais des considérations pédagogiques donc totalement discutable.
Par exemple l'argument "Pourquoi ne pas aborder la question de au moment ou elle se pose ?" est évidement on ne peut plus pertinent...
Perso., c'est uniquement l'expérience et rien d'autre qui me fait préférer ne pas m'attarder sur ce qu'est .