Il m'a surpris et me surprend toujours, c'est pour ça que je vous le propose
Démontrer que
existe et le déterminer.Si besoin d'une indication y'a pas de souci.
Borne inf d'un ensemble
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Borne inf d'un ensemble
par Joker62 » 24 Avr 2007, 12:53
Allez un exo sympathique pour Sandrine ou pour tous les autres d'ailleurs
Il m'a surpris et me surprend toujours, c'est pour ça que je vous le propose
Démontrer que existe et le déterminer.
Si besoin d'une indication y'a pas de souci.
Il m'a surpris et me surprend toujours, c'est pour ça que je vous le propose
Démontrer que
existe et le déterminer.Si besoin d'une indication y'a pas de souci.
par Imod » 24 Avr 2007, 16:47
Bonjour Joker .
Une solution qui manque vraiment d'élégance :
On note=(x^2-ax-b)^2=x^4-2ax^3+(a^2-2b)x^2+2abx+b^2)
Une primitive de
est donnée par :
F(x) =x^3+abx^2+b^2x)
.
En notant I(a,b) l'intégrale proposée :
=\frac{1}{5}-\frac{1}{2}a+\frac{1}{3}(a^2-2b)+ab+b^2)
=b^2+(a-\frac{2}{3})b+(\frac{1}{3}a^2-\frac{1}{2}a+\frac{1}{5}))
Pour
fixé )
est minimun quand 
( parabole ) . Alors :
=\frac{1}{3}[\frac{a^2}{4}-\frac{a}{2}+\frac{4}{15}])
Donc est minimum quand 
alors =I(1,-\frac{1}{6})=\frac{1}{180})
.
Aux erreurs de calcul près .
Imod
Une solution qui manque vraiment d'élégance :
On note
Une primitive de
F(x) =
En notant I(a,b) l'intégrale proposée :
Pour
Donc
Aux erreurs de calcul près .
Imod
par serge75 » 24 Avr 2007, 16:52
Existence par non vide et minoré par 0.
Indication de calcul autre que la méthode de Imod : considérer ceci comme un problème de projection sur C([0,1],R) muni du produit scalaire usuel, en projetant l'application x->x² sur l'ensemble des fonctions affines.
Indication de calcul autre que la méthode de Imod : considérer ceci comme un problème de projection sur C([0,1],R) muni du produit scalaire usuel, en projetant l'application x->x² sur l'ensemble des fonctions affines.
par Joker62 » 24 Avr 2007, 16:54
Ouahhhh :)
Excellent aussi en fait ;)
Et donc oui c'est bien 1/180 la réponse :)
En fait, ce qui m'a frappé dans cet exo, c'est qu'à première vue, on dirait un problème d'analyse, et que la façon dont on l'a résolu était basé sur de l'algèbre pur et dur ! :)
En fait, on munissait l'ensemble des fonctions continues par le produit scalaire intégrale de 0 à 1 f(t)g(t) dt
Et donc il suffit de prendre F le sous espace des fonctions polynomiales à coeff réels, de degrés inférieur ou égale à 1
On fait le projeté orthogonale de f(x) : x -> x², sur F et voilà on arrive au même résultat.
Mais j'avoue, la version analyse est pas mal aussi :)
Excellent aussi en fait ;)
Et donc oui c'est bien 1/180 la réponse :)
En fait, ce qui m'a frappé dans cet exo, c'est qu'à première vue, on dirait un problème d'analyse, et que la façon dont on l'a résolu était basé sur de l'algèbre pur et dur ! :)
En fait, on munissait l'ensemble des fonctions continues par le produit scalaire intégrale de 0 à 1 f(t)g(t) dt
Et donc il suffit de prendre F le sous espace des fonctions polynomiales à coeff réels, de degrés inférieur ou égale à 1
On fait le projeté orthogonale de f(x) : x -> x², sur F et voilà on arrive au même résultat.
Mais j'avoue, la version analyse est pas mal aussi :)
par sandrine_guillerme » 24 Avr 2007, 17:53
Joker62 a écrit:Allez un exo sympathique pour Sandrine
C'est gentil ça
La prochaine fois, j'aurais aimé un exo d'algèbre... !
par Joker62 » 24 Avr 2007, 18:02
Beuh c'est un exo d'algèbre aussi
C'est pour ça que je l'ai posté, car à première vue, on croit qu'il s'agit d'un problème d'analyse :)
C'est pour ça que je l'ai posté, car à première vue, on croit qu'il s'agit d'un problème d'analyse :)
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