Sommes de Riemann

Bonjour :happy3:

Pour bien démarrer la journée, un exercice assez sympathique sur les sommes de riemann :

Soient f et g deux applications continues sur [0,1].
Mq :


:happy3:

Pas de courageux ? :happy3:

Par définition l'intégrale est égale à la somme de Riemann, non ?

Oui mais là ce n'est pas exactement la somme de Riemann de :happy3:

de je voulais dire

On a seulement :
mais ce n'est plus la même somme

:happy3:

Si on dit que quand n tend vers , k tend vers aussi pour x fixé, donc (k+1)/n équivaut à k/n (=x).
C'est suffisant ?

Hum je ne pense pas non ...

En fait il faudrait montrer que

On a f(k/n)+g((k+1)/n) = f(k/n)+g(k/n)+[g((k+1)/n)-g(k/n)]

Or la limite de la différence qu'on fait intervenir avec g est nulle, donc la limite totale de l'expression de l'énoncé est celle qu'on veut, à savoir la somme de Riemann.

D'accord, c'est un peu rapide...

Il me semble même que c'est n'importe quoi, désolé... :mur:

Nightmare a écrit:Hum je ne pense pas non ...

En fait il faudrait montrer que

je sens que ca va etre chiant avec latex :mur:
on peut considerer que f et g ne sont pas constante a 0 sur [0,1]
donc |f| inferieur a M1 et G inferieur a |M2| , deux reels strictement superieures a 0.
De plus dans la somme si un terme est nul alors on peut le supprimé, ainsi on ne gardera que les terme dont on peut considerer la quantité conjugée

voila la reste avec un beau dessin :lol4:

f et g sont uniformément (key point) C° donc on peut majorer pour tout k à epsilon donné et se ramener à une somme de R. classique, quitte à ajouter un terme qui tend vers 0).

Miikou tu triches dans tous les sens quand tu passes à la valeur absolue.

C'est plus simple de dire directement que la fonction (x,y) -> sqrt(|f(x) + g(y)|) est uniformément continue sur [0,1]²

en quoi je triche ?

T'as réussi à montrer que si g(0) = g(1), alors pour tout n, les 2 sommes de riemann sont égales. Ca te parait pas un peu bizarre ?

Quand tu passes à la valeur absolue, il faut la faire rentrer à l'intérieur de la somme si tu veux minorer uniformément le dénominateur pour ensuite le faire sortir de la somme.

Toi t'as majoré uniformément le dénominateur et t'as voulu le faire sortir de la somme, et même si tu pouvais minorer le dénominateur de manière uniforme en n (ce que tu ne peux de toutes façons pas faire), tant que les numérateurs ne sont pas en valeur absolue, tu ne peux pas conclure de majoration pour les fractions.

le demoninateur est majorée .. il ne reste plus que le numerateur, lequel est une somme telescopique

En plus, tu peux remplacer M1 et M2 par n'importe quels nombres plus grand, ton raisonnement ne change pas.
Autrement dit t'es parvenu à montrer que quelque soit f,g, et n, les deux sommes de riemann sont égales.

Aussi je suis curieux de savoir pourquoi M1*M2 majore un truc aussi tordu que cette somme de racines carrées. Suffit que f et g soient suffisemment petites pour que ce soit faux.

En résumé t'as fait un truc du genre :
9/10 = |1/1 + (-1)/10|
<= 1/5* |1-1| car 5 majore les dénominateurs 1 et 10
=0.

3 erreurs en même temps c'est fort.

-_- ce sont les majorant respectifs de |f| et |g| qui existent puisque se sont deux fonction de classe C0. on obtient la convergence absolue en passant a la limite quand n diverge vers +infini, d'où l'on déduis ( logiquement ) l'égalité