Décomposition de 2008 en 3 sommes

[nodgim]

,....,1+1003+1004 (STOP)

:1ère expression

En fait, l'ittération s'arrête dès qu'il est impossible d'écrire 2008 sous la forme n+n+1, soit 2n<2007 (n entier), soit n=1003.

donc 1003+1003+1 : 2ème expression


Es tu sûr qu'il n'y a pas redondance (nonobstant l'erreur 2007 pour 2008)? :doh:

[ThSQ]

La partition d'un nombre entier en la somme de 3 nombres entiers se fait de E(N²/12) manières différentes

Ca ne me parait pas juste ... Si N=3, E(N²/12) = 0 :briques:

La formule est un poil plus compliquée, se comporte en gros comme n²/12 c'est vrai mais la formule exacte dépend du reste modulo 6. Par exemple si n=3 mod 6.

C'est la théorie des partitions d'entiers, pleine de formules étranges et fascinantes.

[nodgim]

Ca ne me parait pas juste ... Si N=3, E(N²/12) = 0 :briques:

La formule est un poil plus compliquée, se comporte en gros comme n²/12 c'est vrai mais la formule exacte dépend du reste modulo 6. Par exemple si n=3 mod 6.

C'est la théorie des partitions d'entiers, pleine de formules étranges et fascinantes.

J'ai donné cette formule de mémoire, il est vrai que je n'ai pas précisé à partir de quel N minimal elle marche. Et puis, ce n'est pas tout à fait la partie entière, mais l'arrondi.
Sinon, elle marche toujours. J'ai retrouvé mes notes, et, oui, il y a bien du 6k. Je donne ici la différence entre la formule N²/12 et le nombre exact:
Si N=6k la formule est juste
Si N=6k+-1 le delta est de +1/12.
Si N=6k+-2 le delta est de +1/3
Si N=6k+3, le delta est de -1/4.
Donc l'arrondi donne toujours la valeur exacte.

On est loin bien sûr de la formulation de Ramanujan, très générale, qui est un modèle de complexité ahurissant....

[JMMaza]

Bonjour,
voici ma solution :
-> a + b + c = 2008
-> pour qu'aucun des termes ne puisse être nul, chacun peut varier de 1 à 2006
-> pour a = 2006, il existe 1 combinaison de b + c qui réponde au problème (1+1)
-> pour a = 2005, il existe 2 combinaisons de b + c qui répondent au problème (1+2 et 2+1)
-> pour a = 2004, il existe 3 combinaisons de b + c qui répondent au problème (1+3, 2+2, et 3+1)
-> pour a = 2003, il existe 4 combinaisons de b + c qui répondent au problème (1+4, 2+3, 3+2 et 4+1)
-> ...
-> pour a = 2, il existe 2005 combinaisons de b + c qui répondent au problème (1+2005, ..., 1003+1003, ..., 2005+1)
-> pour a = 1, il existe 2006 combinaisons de b + c qui répondent au problème (1+2006, 2+2005, ..., 2006+1)
-> On note que la somme des valeurs des combinaisons C possibles de rangs opposés de a lorsque a varie de 1 à 2006 est toujours égale à 2007 (1+ 2006, 2+2005, ... 1003+1004, ... 2006+1)

Le nombre n de combinaisons C possibles est donc, sauf erreur de notation :
-> En incluant les "doublons" (1+2, 2+1) : n = (somme de Ca pour a variant de 1 à 2006) <=> 2006/2 * 2007 = 2 013021 combinaisons
-> En excluant les doublons : n = 1 006 511 combinaisons

Merci de corriger.

[Ben314]

Ton 2006x2007/2 est correct modulo de compter comme différente deux solutions du type 2000+4+4 et 4+2000+4 (alors qu'à priori, il fallait les considérer comme identiques).
Par contre, je ne comprend pas ce que tu appelle "des doublons" dans ce contexte : visiblement tu as divisé par deux, mais c'est sensé dénombrer quoi ?

[JMMaza]

Bonjour Ben,

Il semble que mon résultat ne soit pas bon puisque nodgim trouve 336 005.

Pour ce qui est de ce que j'ai improprement appelé "doublons" (mêmes sommes du type 1+1+ 2006 ou 1+2006+1 ou 2006+1+1), nodgim indiquait dans une réponse précédente qu'il fallait les compter une seule fois.

Et c'est là que je me suis planté : je n'ai considéré que les "doublons" entre b et c.
Ce n'était pas très compliqué sous cet angle puisque la moitié supérieure des combinaisons de b+c pour chaque rang de a est le symétrique de la moitié inférieure.
Seulement en bonne logique, j'aurais dû penser "triplons" (tout aussi impropre en terminologie mathématique je suppose).

Hip a bien démarré mais son analyse n'est pas assez poussée.
Bien sûr, la décomposition ne doit pas fait apparaitre 2 fois la même combinaison dans le désordre.

Précision: le résultat est une formule simple. Le chemin pour le trouver est plus compliqué, mais ne fait pas appel à des connaissances particulières. Il faut juste un peu de patience.

Bon courage à tous

NB: dans une vie antérieure il y a très longtemps, j'ai su ce que signifie modulo, mais là je sèche.

[Ben314]

Ben, effectivement, le calcul modulaire (donc calculer modulo quelque chose), c'est un domaine particulier des mathématiques, mais dans mon précédent message, le terme "modulo" était à prendre dans son sens commun Français, c'est à dire signifiant "à condition que".