Dénombrement

Bonjour
On a 52 billes de 4 couleurs différentes (13 de chaque), et on les distribue à 4 joueurs, chacun en recevant donc 13.
Combien y a t il de distributions possibles ?
Good luck

Salut,
Cela s'appelle un "coefficient multinomial" (s'il n'y avais que deux joueurs, ce serait un coefficient binomial) :
Si tu doit répartir un nombre N d'éléments en k paquets de taille P1,P2,...Pk (où évidement P1+P2+...+Pk=N), le nombre de façon de le faire est :
N!/(P1!P2!...Pk!) où les ! désignent des factorielles.
Bien entendu, si k=2, on retrouve le "fameux" coefficient binomial.

Toujours aussi rapide et efficace Ben, bien vu.

Ben314 a écrit:37.478.624

As tu obtenu ce résultat avec un calcul simple?
Pour ma part j'ai obtenu le meme nombre avec la methode suivante :
On identifie une distribution avec une matrice 3x3

a b c
d e f
g h i

où a est le nb de billes de couleur 1 du joueur 1 (compris entre 0 et 13)
b est le nb de billes de couleur 2 du joueur 1
etc ...
les nombres manquants (ceux du joueur 4 et de la couleur 4) s'obtenant par complémentarité puisque chaque joueur a 13 billes et qu'il y a 13 billes par couleur.

Ensuite il suffit de dénombrer le nb de ces matrices sachant que :

Les sommes de lignes ou colonnes doivent etre <=13
La somme de tous les nombre doit etre entre 26 et 39

En faisant informatiquement une liste exhaustive (environ 20 milliards), seules 37,478,624 matrices vérifient les conditions.

Il y a sans doute plus simple !

Galax a écrit:Il y a sans doute plus simple !

Peut être,mais c'est aussi comme ça que j'ai fait (carré 3x3 + programme informatique). La seule différence, c'est que je n'ai pas fait la liste exhaustive mais un :
Pour a de 0 à 13, pour b de 0 à 13-a, pour c de 0 à 13-a-b pour d de 0 à 13-a,...

Il me semble (de mémoire) qu'il y a des formules récursives moyennement compliquées qui donnent le nombre de carrés magiques nxn de somme S, mais qu'il n'y a pas de formules explicite ne contenant que des opérations "usuelles" (exposant, factorielles)

avec n = 13

Le polynôme peut aussi se réécrire en :

Mésaussi sous la forme


?!?!?!?!

T'as pas juste fait un changement de base des polynômes antisymétriques autour de -2 ?

Il y a le même genre de symétrie quand on prend un carré 3*3, et aussi pour la variante où on rajoute les contraintes sur la somme des éléments sur les diagonales de la matrice.

Je n'ai pas l'ombre d'une explication de l'existence de cette symétrie.

Si on avait une interprétation de la valeur du polynôme en des entiers négatifs, on pourrait ptetre comprendre =|

Doraki a écrit:Je n'ai pas l'ombre d'une explication de l'existence de cette symétrie.

Moi non plus ...

Apparemment il s'agit de calculer le polynôme de Ehrhart du polytope de Birkhoff.
(le polytope convexe dont les sommets sont les matrices de permutations dans R^(d²))

La loi de réciprocité de Ehrhart-MacDonald donne justement un moyen d'évaluer le polynôme en ses valeurs négatives, et ça permet de montrer la symétrie du polynôme autour de (-d/2) (où d est la taille du carré magique).

Bon j'aurais pas trouvé.

Doraki a écrit:Bon j'aurais pas trouvé.

Ben... moi non plus !!!