Cloche de Gauss

beagle a écrit:Quitte à faire des probas et des stats, je ne vois pas pourquoi on se priverait de donner des exemples issues de la courbe de Gauss, et d'y pointer la moyenne et l'écart-type,
de dire qu'à deux écarts-type de chaque coté de la moyenne on a 95% de la courbe.

On peut déjà jouer avec.Exemple si j'augmente toutes les données, les mesures de x, je change quoi la moyenne, l'écart-type?

Je pense qu'on peut jouer avec une courbe de Gauss au lycée ...

oui, on peut faire cela avec la loi normale, et avec d'autres lois aussi. D'ailleurs, d'autres lois s'y prêtent mieux car on peut expliciter et prouver les résultats par calcul (comme avec la loi géométrique, qui est très simple mathématiquement et simple à mettre en oeuvre, mais qui n'est pas au programme du lycée ! trop fort...). En ce qui concerne la loi normale, au lycée (en terminale), on commence par admettre que la surface sous la courbe vaut 1. Idem pour l'écart-type et les histoires d'intervalle de fluctuation à 68%, 95% et 99.7% (avec comme tu le dis 1, 2 o u 3 écarts-types de chaque coté de la moyenne). On vérifie les choses par les dessins http://www.chups.jussieu.fr/polys/biostats/poly/norm01.trsp.gif et l'expérimentation, en évitant soigneusement les contre-exemples qui seraient fâcheux. Je ne suis pas contre les dessins et l'expérimentation, bien au contraire évidemment, mais malheureusement réduire les maths à admettre des théorèmes et les vérifier par expérience (comme c'est demandé explicitement dans les programmes de lycée), c'est bien triste et à double tranchant dans l'apprentissage d'une science qui se distingue, par son mode opératoire singulier (axiome, logique, etc), des sciences expérimentales...

Un autre écueil, à mes yeux, c'est de vouloir "forcer" la loi normale sur des exemples concrets en ajoutant "voilà un exemple qui suit clairement la loi normale" en présentant une expérience visuellement adaptée. En effet, je n'ai jamais vu d'exemple concret qui suit, mathématiquement parlant, la loi normale : au mieux, la loi normale est une bonne approximation de la loi réellement suivie (connue ou pas). Si je poussais le bouchon, je dirais que la loi normale n'existe que par le théorème central limite (donc dans les diverses approximations qu'il justifie), et éventuellement, aussi comme solution au problème que se posait Gauss sur les erreurs (additives) de mesures et maximum de vraisemblance via un échantillon de mesures :id:

beagle a écrit:http://apmep.poitiers.free.fr/IMG/pdf/LA_COURBE_DE_GAUSS.pdf

Ca fait plaisir de voir quelque chose de Poitiers ! :lol3:

beagle a écrit:http://apmep.poitiers.free.fr/IMG/pdf/LA_COURBE_DE_GAUSS.pdf

Ca fait plaisir de voir quelque chose de Poitiers ! :lol3:

A mes yeux, voici un exemple de "passage en force par la loi normale" dans ce document : les courbes de croissance des enfants. Avec 3 dessins bien placés, l'auteur montre un lien avec la loi normale. Ah ben oui, maintenant que l'on affirme, cela saute aux yeux, c'est la loi normale le bon modèle...

Sauf que, quand on regarde de près (par exemple, la taille à 12 mois ou le poids à 24 mois) et que l'on compte vraiment les interlignes, on voit qu'il n'y a pas égalité des écarts entre les courbes 97% - 75% , et 25% - 3% , ce qui prouve que la loi normale n'est qu'une approximation de la vraie loi...

Bonjour Léon, tes remarques sont intéressantes, mais on peut aussi voir le manque de rigueur comme étant à apprendre.Non pas apprendre à manquer de rigueur, mais pour faire comprendre aux élèves que l'on est dans la partie probabilités et que l'utilisation des probas ne va pas démontrer mathématiquement, elle va montrer, faire soupçonner plus ou moins fortement mais c'est tout.
Il n'est pas inutile que le futur citoyen lamda, et encore moins le futur élève en sciences expérimentales comprenne que les études se basant sur des analyses statistiques ne sont pas des démonstrations mathématiques, mais des probas.
donc l'étude x qui montre "..." car l'analyse des résultats est un p= 0,03
n'est pas une démonstration,
cela rend juste probable de penser que comme dans l'étude "..."

cette composante, lorsque l'on met le doigt de l'élève sur la zone au-delà de deux écarts-type,
cela signifie quoi, voilà bien un enjeu important,
et qui me semble plus important encore que de savoir calculer mathématiquement de façon rigoureuse parce que on est en heures d'enseignements des maths.

Petit point de vue que j'ai de chez moi.

Ok, je veux bien qu'un résultat statistique ou probabiliste ne soit pas une preuve d'un fait (puisque c'est justement probabiliste), mais par ailleurs il est indéniable que les théorèmes probabilistes sont bien mathématiquement prouvés. Quand on parle de probas, sous prétexte que "la conclusion est de toute manière probabiliste", doit-on se permettre d'une série de résultats d'approximations non contrôlées ou non expliquées.

Comme tu le dis, il faut avant tout savoir interpréter ce que l'on voit, c'est bien la première étape indispensable. Mais apprendre à interpréter sans avoir la moindre idée (ou des idées incorrectes) de la justification théorique de cette interprétation, c'est peu satisfaisant à mon avis. Pour moi, les probas sont des maths appliquées, pas des maths expérimentales. :lol3:

leon1789 a écrit:ok, je veux bien qu'un résultat statistique ou probabiliste ne soit pas une preuve d'un fait

Tu fais quoi de la preuve probabiliste du théorème de Stone-Weierstrass ?

Je ne sais pas de quoi vous parlez mais j'ai le formidable souvenir d'une preuve de la formule
de Stirling par des probabilités.

http://www-fourier.ujf-grenoble.fr/~dpiau/capes06/F5.pdf

C'était très beau

Dis-moi, rien à voir, mais je cherchais justement une base d'exos assez simples (c'est à dire qui permettent de vérifier qu'on a bien assimilé toutes les notions) pour réviser toutes les matières (topologie, calcul diff, analyse complexe, intégration, probas, algèbre) en vue des examens, t'as pas des liens du même genre ?

Euh pas de faux procès à Léon qui répondait à mon message.
dans mon message il s'agissait des résultats d'expériences x ou y où l'on utilise les stats pour dire s'il se passe quelque chose ou non, par exemple le test d'hypothèse nulle, on teste les résultats observés par rapports aux résutats attendus ou observés si hasard, exemple efficacité d'un médoc testé contre placebo= hasard.On va retrouver dans les commentaires, il y a effet machin, ou efficacité du médoc car p=0,03.
Et bien ceci n'est pas une démonstration.
On a juste montré qu'il se passe probablement quelque chose, mais peut-ètre pas en fait.

Et ce que je disais à Léon était qu'il me semblait tout aussi important de faire comprendre ce que l'on peut faire dire aux chiffres, bien comprendre ce qu'ils ne disent pas,
tout autant que de savoir faire des calculs machin chouette soi-mème.

Et pour Saccharine si elle suit: si je me retrouve avec un résultat au-delà de deux écarts-type,
est-ce parce que il y "erreur", il y a "non similaire au hasard"= efficacité du médoc
ou est-ce parce que je suis tombé hasard en zone peu probable de résultats alors que le médoc n'y est pour rien.

Joker62 a écrit:Je ne sais pas de quoi vous parlez mais j'ai le formidable souvenir d'une preuve de la formule
de Stirling par des probabilités.

http://www-fourier.ujf-grenoble.fr/~dpiau/capes06/F5.pdf

C'était très beau

Effectivement, on ne parlait pas de ce contexte.

Par ailleurs, cette preuve de la formule de Stirling est assez amusante car elle passe par le théorème central limite. Or, historiquement me semble-t-il, c'est par la loi binomiale et la formule de Stirling que De Moivre a prouvé la première version du TCL.

adrien69 a écrit:Donc pour toi toute physique statistique est quantique Kikoo ? :marteau:
Allons allons, la mécanique des fluides est statistique, régie par la convergence de lois probabilistes, mais elle n'en est pas moins considérée comme déterministe. Ce sont les outils qu'on utilise qui sont probabilistes, pas le comportement du système.

Pour en revenir à la "cloche" de Gauss (tu ne m'en voudras pas de me gausser un peu de ce nom Saccharine), il faut comprendre que son importance réside avant tout dans le fait que c'est LA loi probabiliste. C'est à dire que si tu fais une expérience aléatoire quelconque un nombre infini de fois, comme sur la vidéo au-dessus par exemple, et que tu sommes les résultats des expériences (une bille au dessus d'une autre = 1+1), eh bien la répartition de tes résultats suivra une courbe de Gauss. Vraiment, y a pas à chipoter, ce SERA une courbe de Gauss (pas centrée en l'origine, mais ça ne change rien). Un exemple statistique :
Imaginons que tu demandes à tous les français leur âge, et que tu les comptes en fonction de celui-ci, eh bien la courbe donnée par (âge, nombre de cet âge) aura une tronche de gaussienne.
C'est entre autre pour ça qu'on appelle la loi de la courbe de Gauss la loi normale, parce que c'est ce qui doit normalement arriver.

Mais là où ça devient encore plus intéressant, c'est que d'accord, toutes les lois sont en substance des gaussiennes, mais mieux, une gaussienne te permet de lisser une loi, mais ça tu le verras plus tard

Je fais pt'être un amalgame entre les deux ^^
Mais je voulais tout d'abord faire une distinction franche entre les deux sciences. Car l'une me rappelle l'autre, même si l'une est déterministe et l'autre non.

Je crois que nous devrions donner une définition plus qualitative de la loi normale pour que OP comprenne mieux. C'est beaucoup plus simple que tout ce qui a déjà été dit:

Si les impacts aléatoires sont tous un petit impact et qu'aucun d'eux n'a un poids trop grand par rapport aux autres, c'est une loi normale.

Exemple:

On choisit tous les hommes de 25 ans de la France, et on note leur taille. Si on considère que chaque mesure de taille est une variable aléatoire, alors chaque mesure a un impact mineur sur le système. Ceci donne une courbe normale.

Exemple d'une loi non normale:

On achète une action à la bourse. Beaucoup de facteurs influencent le prix d'une action. Par période, il n'y a que des petits facteurs, alors on peut approximer le prix de l'action par une loi normale. Mais au fil du temps, des événements politiques, économiques ou autres peuvent prendre beaucoup plus d'importance que les autres facteurs. Ainsi, puisque un ou quelques facteurs ont beaucoup plus d'importance que les autres, on a plus affaire a une loi normale.

MathematicienPoche a écrit:Si les impacts aléatoires sont tous un petit impact et qu'aucun d'eux n'a un poids trop grand par rapport aux autres, c'est une loi normale.

:hein: j'ai pas compris ce que tu dis.

MathematicienPoche a écrit:Exemple:
On choisit tous les hommes de 25 ans de la France, et on note leur taille. Si on considère que chaque mesure de taille est une variable aléatoire, alors chaque mesure a un impact mineur sur le système. Ceci donne une courbe normale.

Tu veux dire que la taille des hommes de 25 ans suit une loi normale ? en lisant le paragraphe "La distribution des tailles : principales caractéristiques" (pages 28 et 29) de ce document http://www.persee.fr/web/revues/home/prescript/article/estat_0336-1454_1981_num_132_1_4474 , on n'a pas l'impression que ce soit réaliste.


Pourquoi ajouter "de France" ? est-ce que la géographie (ou la nationalité) a un impact sur la taille des hommes adultes ?

Et si on ajoute à cette population masculine toutes les femmes de 25 ans de France, est-ce toujours une courbe normale ? (puisqu'il me semble que chaque mesure a toujours un impact mineur sur le système.)

MathematicienPoche a écrit:Si les impacts aléatoires sont tous un petit impact et qu'aucun d'eux n'a un poids trop grand par rapport aux autres, c'est une loi normale.

:hein: j'ai pas compris ce que tu dis.

MathematicienPoche a écrit:Exemple:
On choisit tous les hommes de 25 ans de la France, et on note leur taille. Si on considère que chaque mesure de taille est une variable aléatoire, alors chaque mesure a un impact mineur sur le système. Ceci donne une courbe normale.

Tu as considéré uniquement la sous-population "homme" car on sait bien que la population homme-femme n'est pas homogène. Ok.

Tu as considéré uniquement la sous-sous-population "hommes de 25 ans" : on sait bien qu'en ajoutant les enfants ou des adultes plus âgés, la population obtenue ne serait pas satisfaisante pour présenter la loi normale. Ok.

Tu as ajouté "de la France" : est-ce que la géographie (ou la nationalité) a un impact sur la taille des hommes adultes ? Si oui, alors faut-il séparer le nord du sud, l'est de l'ouest, c'est-à-dire prendre des sous-sous-sous-populations "hommes français de 25 ans et Ch'tis" ? Etc etc. Jusqu'où aller dans le choix de la population étudiée ?

Dans le paragraphe "La distribution des tailles : principales caractéristiques" (pages 28 et 29) de ce document http://www.persee.fr/web/revues/home/prescript/article/estat_0336-1454_1981_num_132_1_4474 , l'ajustement par une loi normale de la taille (pour des populations françaises triées par sexe et âge) est dit difficile...

Bonsoir,

Je suis toujours Beagle, mais un peu moins etant donné que je ne comprends que quelques mots dans chacunes de vos phrases, et dont je ne sais pas si ce que vous dites chacun, est en rapport avec ce que je demandais au départ ;)
J'ai fait quelques recheches sur le net, et je suis tombée sur la "loi uniforme".
Pourrais-je savoir ce que c'est que comme loi ?
Est-ce possible d'avoir une simulation et des exemples de votre part s'il-vous-plait ?

Merci d'avance !

Saccharine a écrit:Bonsoir,

Je suis toujours Beagle, mais un peu moins etant donné que je ne comprends que quelques mots dans chacunes de vos phrases, et dont je ne sais pas si ce que vous dites chacun, est en rapport avec ce que je demandais au départ
J'ai fait quelques recheches sur le net, et je suis tombée sur la "loi uniforme".
Pourrais-je savoir ce que c'est que comme loi ?
Est-ce possible d'avoir une simulation et des exemples de votre part s'il-vous-plait ?

Merci d'avance !

Bonsoir Saccharine,
cela sent le conseiller technique spécial Dlzlogic, un des rares intervenants maths forum qui sur courbe de Gauss et loi normale peut te faire dériver sur la loi uniforme.
Alors loi uniforme: "tout a mème proba":
loi uniforme discrète, c'est facile, exemple un dé 6 faces équilibré, toutes les probas sont égales à 1/6.
loi uniforme continue, c'est plus difficile à exprimer alors petit passage wiki:
"tous les intervalles de même longueur inclus dans le support de la loi ont même probabilité. Cela se traduit par le fait que la densité de probabilités de ces lois est constante sur leur support."
And now Dlzlogic retrouve une distribution des résultats après n tirages d'évènements issus de loi uniforme, comme les numéros du loto, beaucoup de numéros sont proches de la moyenne théorique de sortie, peu de numéros sont très éloignés de la moyenne soit en retard soit en avance, le tout donne une distribution qui va s'approximer à du Gauss ...

Je te conseille plutot comme il a déjà été dit de bosser la loi binomiale, elle permet de bien comprendre pourquoi cela concentre à la moyenne et qu'il est difficile = peu probable de s'éloigner.
Là aussi cela va s'approximer par du Gauss.C'était l'idée de mon dessin de la courbe ...

Tu me cites souvent Dlzlogic. Pourquoi ? Tu l'aimes pas ? :P
Autrement je te remercie pour ces explications ;)

La loi binomiale je l'ai déjà etudié en cours l'année derniere, donc je vois ce que c'est. Je vais continuer là-dessus donc.
Merci bien !

Saccharine a écrit:Tu me cites souvent Dlzlogic. Pourquoi ? Tu l'aimes pas ?
Autrement je te remercie pour ces explications

La loi binomiale je l'ai déjà etudié en cours l'année derniere, donc je vois ce que c'est. Je vais continuer là-dessus donc.
Merci bien !

Non Dlzlogic est un ami, c'est juste qu'il a été dur en affaires sur les lois de probabilités, sur Gauss,
et que je sais qu'il intervient en MP ...

beagle a écrit:Non Dlzlogic est un ami, c'est juste qu'il a été dur en affaires sur les lois de probabilités, sur Gauss,
et que je sais qu'il intervient en MP ...

Ah d'accord.
Qu'est-ce qui te fait dire qu'il intervient en mp ?

Saccharine a écrit:Ah d'accord.
Qu'est-ce qui te fait dire qu'il intervient en mp ?

Saccharine le 05/04 14h23mn:
"D'ailleurs tu as le bonjour de notre cher ami Dlzlogic "

Donc amical coucou à Dlzlogic de ma part.