Résolution d'un système par Gauss

[ft73]

Prenons un exemple similaire en 2 dimensions :
x + y = 1
x + y = a

Le paramètre a est juste un nombre à placer dans le second membre et pourtant il va falloir discuter la valeur de a : les deux droites décrites sont parallèles ou confondues ? (autrement dit pas de solution ou bien une infinité ?)


Si l'on revient à notre problème, la rédaction finale sera bel et bien :
" - Si u et v vérifient ..... alors ....
- Si u et v vérifient .... alors .... "
Je persiste à appeler ça une disjonction de cas.

Relis-moi, allons-y pour ta disjonction de cas, mais toujours est-il que l'un des deux cas est immédiatement résolu.

@ cauchemar : ben une bonne raison pour les 3 inconnues est que l'on est dans la section lycée (déjà que Gauss est faisable, parfois fait, mais pas au programme de terminale S)...

[Nightmare]

Je veux bien t'accorder l'argument du niveau, mais dans ce cas, la résolution d'un système de 3 équations à 3 inconnues + 2 paramètres n'est pas vraiment non plus du niveau terminale.

Je pense que pour trancher, l'auteur du topic devrait nous retranscrire l'énoncé tel quel.

[ft73]

la résolution d'un système de 3 équations à 3 inconnues + 2 paramètres n'est pas vraiment non plus du niveau terminale.

Si si, bien que non exigible au bac. La connexion géométrique est ici toujours possible, alors qu'avec 5 inconnues j'en doute. :lol2:

[Black Jack]

x + y - 2z + u + 3v = 1 (1)
2x - y + 2z + 2u + 6v = 2 (2)
3x + 2y - 4z - 3u - 9v = 3 (3)


2x + 2y - 4z + 2u + 6v = 2 (2 * (1))
2x - y + 2z + 2u + 6v = 2 (2)

2x + 2y - 4z + 2u + 6v = 2x - y + 2z + 2u + 6v
2y - 4z = - y + 2z
3y = 6z
y = 2z

Et donc le système devient:

x + 2z - 2z + u + 3v = 1
2x - 2z + 2z + 2u + 6v = 2
3x + 4z - 4z - 3u - 9v = 3

x + u + 3v = 1
x + u + 3v = 1
x - u - 3v = 1

Et voila le machin revenu à un système de 2 équations à 3 inconnues :

x + u + 3v = 1
x - u - 3v = 1

2x = 2
x = 1
et
u + 3v = 0

Et donc le système initial peut de réduire à :

x = 1
u + 3v = 0
y = 2z

On a donc obligatoirement x = 1
On peut choisir librement soit u, soit v et calculer le correspondant par u + 3v = 0
et on peut choisir librement soit y, soit z et calculer le correspondant par y = 2z
***********
Reste à vérifier si je me suis planté et ... à refaire l'exercice par la méthode demandée.

:zen:

[ppcrepin]

Résolution du système si u et v sont des paramètres à l'aide de la méthode du pivot de Gauss :

(S) :

x + y - 2z = 1 - u - 3v L1
2x - y + 2z = 2 - 2u -6v L2
3x + 2y- 4z = 3 +3u +9v L3



x + y - 2z = 1 - u - 3v L1
-3y -6z = 0 L2 - 2*L1
-y +2z = 6u + 18 v L3 - 3*L1

1er cas : 6u + 18 v 0

le système ne possède pas de solution

2ème cas : 6u + 18v =0

(S) x + y -2z = 1 - u -3v
y- 2z = 0



x = 1 - u -3v
y = 2t
z = t

[ppcrepin]

et comme 6u + 18v = 0

(s) <=> x=1
y=2t
z=t

[nico3004]

Désolé de ne revenir que maintenant, ppcrepin et BlackJack ont tous les 2 raisons je pense. Ce n'était pas précisé dans l'énoncé mais je pense aussi que ça doit être un système de 3 équations avec 3 inconnues.
Vous êtes d'ailleurs parvenu à le résoudre. Je suis quand même impressionné par votre facilité à trouver des combinaisons linéaires !

Merci beaucoup à vous tous !