Identifier la fonction nulle

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RestlessMind
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Identifier la fonction nulle

par RestlessMind » 02 Juil 2016, 21:58

Vous disposez d'un fonction f(x) dont vous n'avez pas accès à la définition, vous pouvez tester cette fonction un nombre limité de fois et vous cherchez à savoir si cette fonction est la fonction nulle ou pas.

Si pour une valeur donnée de x, vous trouvez f(x) != 0, vous avez démontré que f(x) n'est pas la fonction nulle, mais dans le cas contraire, c'est moins évident.

Admettons que vous ayez choisi de tester f(1) et que vous obtenez 0, vous n'avez pas prouvé que cette fonction est la fonction nulle, vous savez seulement que f(1) = 0, or, on trouve facilement un exemple de fonction non nulle qui respecte cette condition, telle que la fonction "x - 1".

Admettons que vous testiez ensuite f(3) et vous obteniez 0 encore une fois, on trouve encore un exemple où cela fonctionne avec la fonction non nulle "(x-2)^2 - 1"

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Admettons que vous ne testiez que des entiers et que vous obtenez toujours 0, on trouve toujours un exemple de fonction non nulle avec "sin(x*pi)"

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Et je dirais qu'à priori, avec tous les tests qu'on peut faire, on trouvera toujours un exemple de fonction non nulle qui pourra valoir 0 pour toutes les valeurs testés, mais ça n'a pas valeur de démonstration.

Le défi est donc le suivant: y a t-il un moyen de prouver qu'une fonction est la fonction nulle sans avoir accès à sa définition ? Si oui, comment ? Vous avez le droit de dériver f et de tester la dérivé de la même façon, vous avez le droit d'avoir une primitive et de la tester de la même façon, etc... N'hésitez pas à être créatifs. Tout ce que vous n'avez pas le droit de faire, c'est d'accéder directement ou indirectement à la définition de f(x).
Si non, démontrez pourquoi c'est impossible.



samoufar
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Re: Identifier la fonction nulle

par samoufar » 03 Juil 2016, 00:37

Bonsoir,

À mon avis, il est impossible de dire quoi que ce soit sur une fonction en se contentant de l'évaluer en un certain nombre de points (même une infinité indénombrable; prendre par exemple la fonction caractéristique de et l'évaluer en tout irrationnel), à moins de trouver pour tout .

De plus, il est impossible d'utiliser les notions de dérivée ou de primitive puisque n'est a priori ni dérivable ni continue (puisqu'on n'a pas le droit à la définition) (au passage même si est continue, la primitivation n'est pas vraiment utilisable puisqu'une primitive de est définie à une constante additive près ;) ).

En bref, je pense qu' on ne peut dire de qu'elle est nulle que si on la connaît entièrement, donc si l'on a accès à sa définition :)

RestlessMind
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Re: Identifier la fonction nulle

par RestlessMind » 03 Juil 2016, 03:37

Bonsoir,

Je précise donc: on peut faire l'hypothèse que la fonction est continue et infiniment dérivable.

Sinon je vois pas en quoi la constante additive gêne dans le fait de trouver une primitive, tu peux considérer qu'on a accès à la définition mais tu ne peux pas l'utiliser pour la simplifier en zéro ni pour exploiter des propriétés autres que celles dont on fait l'hypothèse a priori.

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zygomatique
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Re: Identifier la fonction nulle

par zygomatique » 03 Juil 2016, 13:44

salut

pas clair ton histoire ...

tu as une boite noire (la fonction f) dont tu ne connais rien ... sauf que quand tu lui donnes à bouffer un nombre elle te "chie" 0 ....

ben tu conjectures que la fonction f est la fonction nulle ... jusqu'au jour où elle te crache autre chose que 0 ... auquel cas tu révises éventuellement tes plans ...
Ce qui est affirmé sans preuve peut être nié sans preuve. EUCLIDE

RestlessMind
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Re: Identifier la fonction nulle

par RestlessMind » 03 Juil 2016, 15:46

Salut zygomatique,

Elle n'est pas totalement noire puisque tu peux la dériver ou la primitiver. Tester les limites est aussi envisageable.

Skullkid
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Re: Identifier la fonction nulle

par Skullkid » 03 Juil 2016, 16:43

On peut facilement construire des fonctions indéfiniment dérivables qui sont nulles partout sauf sur un intervalle aussi petit qu'on veut. Le seul moyen d'identifier ces fonctions-là par ton test est d'avoir la chance de tomber dans l'intervalle en question, ce qui est voué à l'échec.

Calvinator2000
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Re: Identifier la fonction nulle

par Calvinator2000 » 03 Juil 2016, 19:07

Bonjour,

Sans connaître la définition de la fonction, je pense qu'il est impossible de dire si oui ou non il s'agit de la fonction nulle.
En effet, pour chaque valeur donnant 0, f peut s'apparenter à une fonction polynomiale P/ P(x)=(x-a)(x-b)... pour a,b,... testées.
Si on peut tester la dérivée de f en ces valeurs, et que par exemple, f'(a)=f'(b)=...=0
f peut alors s'apparenter à une fonction du type P(x)=(x-a)²(x-b)²...
De même pour la dérivée à l'ordre 2 : f peut s'apparenter à P/P(x)=[(x-a)^3]*[(x-b)^3]*...
Et ainsi de suite pour les ordres suivants.

J'espère avoir pu t'aider.

Pseuda
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Re: Identifier la fonction nulle

par Pseuda » 03 Juil 2016, 19:33

Bonjour,

1er exemple : Soit la fonction définie sur R prenant la valeur 1 en 10^e et la valeur 0 partout ailleurs. On ne connait pas sa définition, on ne peut que la tester un nombre limité de fois.

On ne peut pas à coup sûr, déterminer si cette fonction est la fonction nulle.

2ème exemple : soit une fonction f définie sur R telle que f²=0 (ce n'est pas une définition). Alors f=0.

La question du 1er exemple est différente de celle du 2ème exemple.

samoufar
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Re: Identifier la fonction nulle

par samoufar » 04 Juil 2016, 03:06

Bonsoir,

Autre cas possible, si ta fonction est continue sur et qu'elle est nulle sur (ou tout autre ensemble dense dans , je prends car il est dénombrable, donc infini mais pas non plus "trop grand"), alors elle est nulle sur ;)

zygomatique a écrit: sauf que quand tu lui donnes à bouffer un nombre elle te "chie" 0 ....
ben tu conjectures que la fonction f est la fonction nulle ... jusqu'au jour où elle te crache autre chose que 0 ... auquel cas tu révises éventuellement tes plans ...

Sinon, zygomatique résume bien les choses :lol:

Et effectivement, pour revenir à ce que Calvinator2000 a dit, tant que tu évalues ta fonction un nombre fini de fois, tu peux toujours trouver une fonction (mieux: une fonction polynomiale donc infiniment dérivable) qui vaut 0 partout où tu l'évalues.

Mais bon, en définitive, je pense que les problèmes qui se ramènent à l'identification de la fonction nulle se traitent plutôt au cas par cas, donc dépendent plus ou moins de comment tu introduis ta fonction (c'est d'ailleurs ce que souligne Pseuda) :)

Pseuda
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Re: Identifier la fonction nulle

par Pseuda » 04 Juil 2016, 10:57

Bonjour,

En résumé, pour reprendre ce qui dit Samoufar :

- si on ne sait rien sur la fonction, on ne peut pas décider si elle est nulle ou non en la testant un nombre fini de fois, ni même une infinité dénombrable de fois,

- si on a quelques propriétés sur la fonction, on peut parfois décider si elle est nulle ou non, mais pas toujours.

 

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