Fonction nulle

par **nekros** » 15 Aoû 2006, 23:10

Salut tout le monde :

Soient

et

une application de

dans

deux fois dérivable telle que

et que :

,

Montrer que

Indice (mes exos ont tendance à tomber aux oubliettes) : envisager un point c dans

en lequel

atteint sa borne supérieure.

Bon courage.

A+

par **aviateurpilot** » 15 Aoû 2006, 23:45

j'aime pas ls indice
mais merci comme meme pour ce exo

par **nekros** » 15 Aoû 2006, 23:50

aviateurpilot a écrit:j'aime pas ls indice

J'ai pensé à toi en mettant l'indice : je sais que tu n'aimes pas. :lol5:
Mais ça permet à plus de personnes de participer si elles ne voient pas comment démarrer.

aviateurpilot a écrit:mais merci comme meme pour ce exo

De rien :happy2:

A+

par **Mikou** » 16 Aoû 2006, 13:53

salut,

soit b dans [0,a] tel que f(b) soit maximal, on aurait f'(b) = 0
ton equation deviendrait

supposons que f(b)

on aurait alors

donc f' strictemen croissante en b or f'(b) = 0 or aurait donc sur ]b,k]
(k etant un parametre variable ) f'(c) > 0 donc f serait strictement croissante sur ]b,k] et finalement comme f est continue f(k) > f(b) ce qui contredit le fait que f admet un max en b .. dont lhypothese f(b)

est fausse. f admet comme max 0

De la meme facon on prouverait que f admet comme min 0 => f constante a 0 :lol4:

par **Alpha** » 16 Aoû 2006, 14:04

On peut dire plus simplement qu'en un point ou elle atteint son maximum, sa dérivée seconde est négative (c'est bien connu) et que si la borne supérieure est positive, on a f''(b) négatif et f"(b) = b(f(b))^3 positif, donc f"(b) = 0 donc f(b) =0. On fait de même avec la borne inférieure.

Cordialement

par **El_Gato** » 16 Aoû 2006, 14:05

Mikou a écrit:donc f' strictemen croissante en b

f' strictement croissante en b ? Qu'est-ce que ca veut dire ?

par **nekros** » 16 Aoû 2006, 14:06

Correct Alpha ! Il fallait aboutir à une contradiction.

A+

par **Mikou** » 16 Aoû 2006, 14:13

hum nekros tu t'étonne que personne ne fasse t exo c sur que si tu reponds pas a leur solution il ne recommencerons pas

par **Alpha** » 16 Aoû 2006, 14:14

Oui nekros en fait je ne raisonne pas par l'absurde je démontre directement la propriété, car quand j'écris positif ou négatif c'est toujours au sens large. Tu voulais que je raisonne par l'absurde ou par contraposition?

par **nekros** » 16 Aoû 2006, 14:30

Mikou a écrit:hum nekros tu t'étonne que personne ne fasse t exo c sur que si tu reponds pas a leur solution il ne recommencerons pas

Je crois que El Gato y a répondu.

Alpha a écrit:Tu voulais que je raisonne par l'absurde ou par contraposition?

J'avais raisonné par l'absurde.

A+

par **Mikou** » 16 Aoû 2006, 14:40

f'' > 0, meme resultat au final.

par **Alpha** » 16 Aoû 2006, 14:45

Ce qui Mikou voulait dire, c'était qu'en supposant ce qu'il a supposé, f' était strictement croissante dans un voisinage de b. Son raisonnement revient peu ou prou à démontrer que la dérivée seconde est négative au maximum, ce que j'ai admis puisque c'était évident visuellement. Tu devrais peut-être examiner chaque réponse attentivement plutôt que d'en rejeter une juste parce qu'un détail cloche à première vue :lol4:

Cordialement

par **nekros** » 16 Aoû 2006, 14:46

f est continue sur

donc f est bornée et atteint ses bornes. (segment)
Soit

dans

tel que

On a

donc

Par l'absurde : on suppose que

On a

donc

.
Donc f est deux fois dérivbles sur

et atteint un maximum en

Donc

et

Or,

d'où la contradiction.
Donc

On fait pareil avec la borne inf.

A+

par **nekros** » 16 Aoû 2006, 14:47

Alpha a écrit:Ce qui Mikou voulait dire, c'était qu'en supposant ce qu'il a supposé, f' était strictement croissante dans un voisinage de b. Son raisonnement revient peu ou prou à démontrer que la dérivée seconde est négative au maximum, ce que j'ai admis puisque c'était évident visuellement. Tu devrais peut-être examiner chaque réponse attentivement plutôt que d'en rejeter une juste parce qu'un détail cloche à première vue :lol4:

Cordialement

Au temps pour moi...

A+

par **El_Gato** » 16 Aoû 2006, 14:55

Alpha a écrit:Tu devrais peut-être examiner chaque réponse attentivement plutôt que d'en rejeter une juste parce qu'un détail cloche à première vue

Oui bien sûr mais cette expression de "fonction strictement croissante en un point" se rencontre très souvent, nonobstant son absence de signification. Il était donc utile de le dire ici, non pas certes contre Mikou, mais pour signaler une petite faute souvent commise.

par **Alpha** » 16 Aoû 2006, 15:17

Je suis bien d'accord avec toi El Gato, tu as tout à fait raison, mais ce n'était pas à toi que je faisais la remarque, c'était à Nekros, car par sa réponse à Mikou il semblait considérer que tu avais répondu à Mikou, en ce sens que tu lui aurais montré que son raisonnement était faux, alors qu'en fait tu lui avais juste fait remarquer une erreur de formulation qui n'empêchait pas son raisonnement d'être valide, c'est pourquoi je disais qu'il aurait du mieux examiner la réponse de Mikou plutôt que de la juger erronée à partir de ta remarque, qui, elle, était tout à fait justifiée :lol4:

Bien cordialement

par **nekros** » 16 Aoû 2006, 15:22

Encore une fois, désolé :cry:

A+

par **Alpha** » 16 Aoû 2006, 15:26

C'est pas grave voyons! :lol4: Et merci pour cet exercice bien sympathique!

par **nekros** » 16 Aoû 2006, 15:34

Alpha a écrit:C'est pas grave voyons! :lol4: Et merci pour cet exercice bien sympathique!

Mais de rien !

A+

Fonction nulle

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