Une fonction non nulle

[Imod]

Une curieuse fonction :doh:

Existe-t-il une fonction réelle à valeurs réelles , continue , non nulle et telle que : ?

Imod

[Flodelarab]

Ne passons pas à côté des choses simples:

f(0)=0

[Imod]

Fonction réelle à valeurs réelles ( ie: de dans supposée définie sur tout entier :marteau: ) et non nulle donc pour tout n'est pas accepté :zen:

Imod

[guillaumeL]

Il me semble que non. (il suffit de trouver une relation de récurrence avc f(x), si je ne me suis pas trompé)
(Est-ce qu'on peut poster des éléments de réponses/réponses [même si ceux-ci peuvent être faux :we: ] qui ne seraient visible que par celui qui le souhaite?)

[Imod]

Est-ce qu'on peut poster des éléments de réponses [même si ceux-ci peuvent être faux :we: ] qui ne seraient visible que par celui qui le souhaite?)

Aucun problème ! Tu peux répondre en blanc si tu ne veux pas qu'on te lise accidentellement ( personnellement je n'aime pas trop ce procédé ) .

Imod

[guillaumeL]

Bon, j'avais fais une erreur d'inattention (faut faire attention à pas écrire de la même façon les 2 et les 1...)
Bref, j'ai quand même une relation de récurrence, mais c'est beaucoup moins jolie, et probablement pas utile, je la note quand même à tout hasard: pour tout n, N appartenant à |N


L'idée était de fixer n à 0, et de faire tendre N vers +l'infini pour que ça fasse 0, mais la on aurait une somme infinie , donc ça marche pas, (avec l'erreur, ça se simplifiait bien :triste: )

EDIT: syntaxe TEX

[Clembou]

Bon, j'avais fais une erreur d'inattention (faut faire attention à pas écrire de la même façon les 2 et les 1...)
Bref, j'ai quand même une relation de récurrence, mais c'est beaucoup moins jolie, et probablement pas utile, je la note quand même à tout hasard: pour tout n, N appartenant à |N


L'idée était de fixer n à 0, et de faire tendre N vers +l'infini pour que ça fasse 0, mais la on aurait une somme infinie , donc ça marche pas, (avec l'erreur, ça se simplifiait bien :triste: )

[pour la formule tex, le "k parmit N" n'a pas l'air de passer correctement, première fois que j'utilise donc bon... si quelqu'un sait pourquoi?]

Pour faire un super coefficient binomial, tu peux faire comme ça :

ou passer par l'ancienne notation :

[guillaumeL]

Merci bien à toi :happy2:

[Clembou]

Moi j'ai trouvé un truc mais je travaille avec des fonctions de .

Je vous l'expose.

On a clairement que :

Si est non nulle alors il existe tel que :

avec .

On prendra pour exemple et on fixera les valeurs de à 0.

On a ainsi :

Donc :

Maintenant, on regarde pour

On fixera les valeurs de pour qui n'est pas une puissance de 3 à 0. Soit , on a alors la fonction suivante qui vérifie l'équation :

[Flodelarab]

Et ta fonction est censée être continue ?

[Clembou]

Et ta fonction est censée être continue ?

Tu as déjà vu une fonction de continue, toi ? :triste: :ptdr:

[miikou]

ca me rappel un exo d'oral de l'ens ca.
f continue telle que f(ax)+f(bx)+f(cx)= 0 avec a,b,c deux a deux differents ;)

[nodgim]

On peut parler de réseaux superposés. Le réseau du nombre 1, par exemple, est l'ensemble des nombres interdépendants de 1:
1,2,3. comme 2 est raccordé aussi à 2/3 et 4/3 d'une part, et 4 et 6, d'autre part, tous les nombres de la forme 2^k*3^j (k et j sont positifs ou négatifs, )appartiennent à ce réseau. A chacun de ces triplets, on attribue 2 valeurs + et 1 valeur -, ou l'inverse, ou encore 1+, 1- et 1 zéro. Comme on a beaucoup de liberté pour l'attribution des valeurs, on peut raisonnablement supposer pouvoir attribuer le même signe aux valeurs voisines, comme par exemple 1 et 9/8.

Si je construis un second réseau, par exemple à partir de 13/10, tous les nombres sont de la forme 13/10*(2^k*3^j). Si je donne le même signe à 13/10 que 1, je ne pourrais toutefois pas faire coïncider chaque valeur du réseau 1 avec chaque valeur du réseau 13/10 au cause du décalage, le triple de 13/10, par exemple, étant plus proche de 4 que du triple de 1. Donc il y a un gros risque qu'on soit obligé d'attribué une valeur - à un nombre du réseau 13/10 entre 2 valeurs + du réseau 1.

Or le nombre de réseaux superposés est infini. Aussi, la courbe qu'on pourrait tracer changerait de signes entre 2 abscisses aussi proches que l'on veut. il parait donc bien difficile d'établir une courbe dans ces conditions.

[Imod]

La fonction existe , continue sur et non identiquement nulle :zen:

Qui est-elle ?

Imod

[Imod]

Une petite aide :we:

L'équation a-t-elle des solutions dans et si oui quel est le rapport avec la question initiale ?

Imod

[nodgim]

Oh, s'il faut passer par les complexes, je suis mal, ça fait bien trop longtemps que je n'ai pas pratiqué... :triste:

[Imod]

Il y a en fait une infinité de solutions dont certaines ont une partie réelle positive , je rédigerai ça à l'occasion , sinon on peut très bien l'admettre et poursuivre ...

Imod

[miikou]

salut imod, ici je me restreint a l'étude de ton pb sur IR + ( le même raisonnement sur IR - permet de conclure sur IR )
il existe a different de 0 tq f(a)=0. En effet soit x > 0 f(x)+f(2x)+f(3x) = 0 donc si f(x) = 0 c'est réglé, si f(x) > 0 = > f(2x) et f(3x) sont de signes différents, la continuité impose l'existence d'une racine de f sur [x;3x]
( même raisonnement si f(x) < 0 )

pour tout x dans IR f(x) + f(2x)+f(3x) = f(x/2) + f(2x/2) + f(3x/2)
donc f(2a) + f(3a) = f(a/2) + f(3a/2) = 0
=> f(a) + f(3a/2) (= f(a/4) + f(3a/4)) = 0
=> f(3a/2) = 0 => f(a/2) = 0

ensuite si on peut montrer que pour tout x > 0
lim Un -> x
avec Un+1 = 3Un si Un < x et Un+1 = Un/2 si Un>x
alors on conclus mais je n'y ai pas trop réfléchis encore

[Flodelarab]

=> f(a) + f(3a/2) (= f(a/4) + f(3a/4)) = 0

Peux tu justifier cette ligne ?
Moi, bêtement, j'aurais pensé que tu avais pris x=a/2 mais on aurait retrouvé comme la ligne du dessus.

[Imod]

Je ne vois pas trop comment tu conclus que f(a/2)=0 . De toute façon le fait que f s'annule une infinité de fois au voisinnage de 0 n'entraîne pas que f soit nulle sur ce voisinage ( exemple : f(x)=x.sin(1/x) ) .

Imod