Résolution équation

[Fritasse]

Bonjour,
Je vais rentrer en 1ère S et les devoirs de vacances s'imposent donc ! :3
Je travaille sur les suites en ce moment et j'ai du mal pour une question. Il s'agit de déduire l'expression d'une suite u en fonction d'un entier naturel n à partir d'une suite v déjà exprimée en fonction de n. Je tombe donc sur l'équation suivante : (uñ-1)/(uñ+2)=((-1/2)^n)*2/5.
Je tourne en rond... Pouvez-vous m'aider svp ?
Ps : ñ signifie indice n
Merciz

[Lostounet]

Hello,

S'agit-il bien de:

et tu veux isoler Un?

[Fritasse]

Bonjour ,
C'est exactement ça.

[Lostounet]

Que donne un produit en croix?

[Razes]

C'est quoi la suite ? Elle pourrait aussi servir d'étape pour le calcul de la suite .

[Fritasse]

Bonjour, je vais faire le produit en croix ce soir, j'essayais bêtement de tomber sur un produit nul. Quant à v, c'est Vn=(Un-1)/(Un+2).
Merci et je vous recontacte ce soir

[WillyCagnes]

bjr,

Vn=(Un -1)/(Un+2)=(Un+2 -3)/(Un+2)=1-3/(Un+2)

donc
1-Vn=3/(Un+2)

et l'inverse donne
1/(1-Vn)=(Un+2)/3 = Un/3 +2/3

soit 3[1/(1-Vn) -2/3] =Un
donc Un= 3/(1-Vn) -2 puis tu remplaces Vn par sa valeur

[Fritasse]

Bonjour, le produit en croix ne m'a pas avancé. Avec la dernière solution du forum je tombe sur Un=(5*2n+4)/(5*2n-2) si n est pair et Un=(5*2n-4)/(5*2n+2) si n est impair. Cela me paraît incohérent, n'y aurait-il pas moyen de simplifier cela ?
Merci pour votre temps

[Fritasse]

J'ai aussi oublié de dire que U(n+1)=2/(1+Un)

[Lostounet]

C'est malheureusement devenu... assez incompréhensible.
Peux-tu donner l'énoncé complet (et dans l'ordre...) ? Si tu le souhaites, tu peux essayer d'écrire les formules mathématiques en prenant connaissance du guide (dans la section ' guide d'utilisation')

Que veux-tu faire avec Un ? Que vient faire Vn là-dedans ?
Soit: Tu as une suite Un dont tu veux une expression explicite en passant par une suite auxiliaire Vn
Soit: Tu as déjà utilisé Vn et tu veux qu'on t'aide à simplifier la formule explicite
Soit: Autre chose ....

[Razes]

On peut écrire la suite sous la forme (en inversant numérateur et dénominateur): , En calculant la différence d'indices ceci nous montre que nous passons au 3ème éléments chaque fois, ceci veut dire que pour:
sera calculé en fonction de
sera calculé en fonction de
sera calculé en fonction de

On peut considérer que ce sont 3 suites indépendantes mais qui ont la même structure. Calculons à partir du cas , les deux autres pourront être calculés par un changement d'indice.






Donc, pour :


pour :


pour :


facile à calculer

[Fritasse]

Bonjour, merci Razes mais c'est Vn qui vaut 2/5*(-1/2)^n
Voici l'énoncé complet et mes réponses :
On considère la suite Un avec n>=0 définie par :
U0(0=zéro..)= 3
Un+1(en indice)=2/(1+Un)

1) calculer U1 et U2. Cette suite est elle arithmétique ou géométrique ?
->U1=1/2 et U2=4/3. De plus on remarque que le quotient de deux termes consécutifs n'est pas constant, elle n'est donc pas géométrique.
2) déterminér une fonction f telle que pour tout n appartenant aux entiers naturels, Un+1(n+1 en indice)=f(Un)
Puis résoudre f(x)=x
->f(x)=2/(1+x) et les solutions de l'équation sont x=1 et x=-2
3) on considère la suite Vn avec n>=0 définie sur N par :
Vn=(Un-1)/(Un+2) ( rien n'est en indice)
a) calculer V0,V1 et V2
->respectivement on trouve 2/5, -1/5 et 1/10
b) démontrer que la suite est géo
->Vn+1(en indice)=(1-Un)/(4+2Un)
Or [(1-Un)/(4+2Un)]*(-2)=Vn
D'où (1-Un)/(4+2Un)=(-1/2)*Vn
C'est donc une suite géo de raison -1/2 et de premie terme 2/5
c)exprimer pour tout entier naturel n, Vn en fonction de n
-> Vn=V0*q^n
Vn=(2/5)*(-1/2)^n où q est la raison
d) en déduire pour tout entier naturel n, Un en fonction de n

Merci de votre aide

[Fritasse]

Pour la question 1 j'ai oublié de dire qu'elle n'était pas arithmétique puisque les différences de deux termes consécutifs variaient

[Razes]

C'est mieux d'écrire l'énoncé complet dès le départ, ça évite qu'on travaille sur des interprétations ou des erreurs.

[Razes]

1) et 2) corrects

[Razes]

3) a) correct

[Razes]

3) b) c) corrects

[Razes]

Tu as:


Calcule en fonction de et conclue.

[Fritasse]

Bonjour Razes, je veillerai bien à écrire pur l'énoncé la prochaine fois
Merci pour la correction, pour d) je trouve que Un=(2Vn+1)/(1-Vn)
Mais quand je remplace Vn par 2/5*(-1/2)^n je trouve Un=(1+4/5*(-1/2)^n)/(-2/5*(-1/2)^n+1)
Est-ce que c'est simplifiable ?
Bonne journée

[Razes]

Erreur dans le dénominateur 1-...