Matrices de rotations intermédiaires

[Doraki]

Si tu connais les deux axes, et que tu as deux vecteurs unitaires ua et ub (1 pour chaque axe), tu obtiens l'axe de T (ainsi que l'angle, au signe près) en calculant le produit vectoriel de ua et de ub. La direction du produit vectoriel est l'axe de T, et la norme est +-sinus(angle entre ua et ub).

Donc une fois que tu as ça tu as presque tout ce qu'il te faut.

[leon1789]

@leon1789
Je ne suis pas sur d'avoir saisi comment tracer votre nouvel exemple : voila en vert le nouveau tracé pour mon exemple à a=b=PI/2 (ici j'ai juste tracé M(u) avec u entre 0 et 1) :

Qu'entendez-vous par tracer la rotation M(u) ?
Vous avez tracé en vert et rouge des vecteurs. Quels sont ses vecteurs ?

[leon1789]

mais voici le résultat sur votre exemple avec a=b=Pi/2 ,
j'obtiens simplement

Personnellement, je ne vois pas comment on peut faire plus naturelle que cette matrice de rotation M(u). En effet :
M(0) = Ma est la rotation d'angle a=Pi/2 d'axe dirigé par (1,0,0)
M(1) = Mb est la rotation d'angle b=Pi/2 d'axe dirigé par (0,-1,0)

On pense alors à M(u) comme la matrice de rotation d'angle constant Pi/2 et d'axe allant à vitesse constante de (1,0,0) à (0,-1,0) en suivant la géodésique sphérique (= arc de cercle centré en (0,0,0) ), et c'est exactement la matrice M(u) ci-dessus...


Idem pour la matrice M(u) sur l'exemple de Fatal_error :
M(0) = Ma est la rotation d'angle a=Pi/3 d'axe dirigé par (1,0,0)
M(1) = Mb est la rotation d'angle b=Pi/6 d'axe dirigé par (0,-1,0)

On pense alors à M(u) comme la matrice de rotation d'angle allant linéairement de Pi/3 à Pi/6 , et d'axe dirigé par un vecteur unitaire allant à vitesse constante de (1,0,0) à (0,-1,0) en suivant la géodésique sphérique.



Si ces matrices M(u) ne sont pas satisfaisantes, c'est que je n'ai pas compris un point important du problème. Cela ne m'étonnerais pas que cela soit lié aux vecteurs que neoirto dessine. Mais quels sont ces vecteurs ?

[leon1789]

mais voici le résultat sur votre exemple avec a=b=Pi/2 ,
j'obtiens simplement

Personnellement, je ne vois pas comment on peut faire plus naturelle que cette matrice de rotation M(u). En effet :
M(0) = Ma est la rotation d'angle a=Pi/2 d'axe dirigé par (1,0,0)
M(1) = Mb est la rotation d'angle b=Pi/2 d'axe dirigé par (0,-1,0)

"Naturellement", on pense alors à des rotations intermédiaires d'angle constant Pi/2 et d'axe allant à vitesse constante de (1,0,0) à (0,-1,0) en suivant la géodésique sphérique (= arc de cercle centré en (0,0,0) ), et c'est exactement la matrice M(u) ci-dessus...


Idem pour la matrice M(u) sur l'exemple de Fatal_error :
M(0) = Ma est la rotation d'angle a=Pi/3 d'axe dirigé par (1,0,0)
M(1) = Mb est la rotation d'angle b=Pi/6 d'axe dirigé par (0,-1,0)

On pense alors à M(u) comme la matrice de rotation d'angle allant linéairement de Pi/3 à Pi/6 , et d'axe dirigé par un vecteur unitaire allant à vitesse constante de (1,0,0) à (0,-1,0) en suivant la géodésique sphérique.



Si ces matrices M(u) ne sont pas satisfaisantes, c'est que je n'ai pas compris un point important du problème. Cela ne m'étonnerait pas que cela soit lié aux vecteurs que Neoirto dessine. Mais quels sont ces vecteurs ? Quel est le souci ?

[neoirto]

@leon1789
Dans les dernières capture d'écran:
- En vert, je calcule M(u) avec un pas de 1/32ème pour u et j'applique à 32 objets (une ligne verte passant par O), pour materialiser la rotation.
Quand je dis que je trace M(u), c'est juste pour préciser que je ne trace pas M(u)*Ma ou une autre combinaison exotique.

- En rouge, l'ancien mode de calcul (extraction d'axis angle de Mp, décomposition de l'angle, et reconstruction de Mpi), qui donne les mêmes résultats que votre précédente méthode, avec un pas de t/32ème pour u, avec là encore une application des 32 matrices résultantes à une ligne rouge passant par O.

De votre coté, comment vérifiez vous qu'il s'agit de la geodésique la plus courte entre Ma et Mb svp (la fameuse ligne droite à la surface d'une sphère) ?

Sinon, mes représentation sont faites avec Ogre, dont le système est main droite. Celà pourrait-il venir de là ?

@Doraki
Merci, apparemment c'est dans mes cordes, du moins je le suppose. Je vai tenter une résolution si la solution de leon1789 n'est pas la géodésique attendue...

Quoiqu'il en soit, merci à tous :lol3:

[Ben314]

je suis ptetre fatigué, mais je doute fortement de ton groupe qui n'agit pas par isométrie sur lui-même.

Effectivement, une fois un peu plus réveillé, mon truc, c'est efectivement n'importe quoi : les géodésique, c'est les applications t->Exp(tA) (A antisymétrique) ET les t->P.Exp(tA) (P dans SO(3)) MAIS PAS les t->exp(t.A+A')

[leon1789]

@leon1789
Quand je dis que je trace M(u), c'est juste pour préciser que je ne trace pas M(u)*Ma ou une autre combinaison exotique.

ok

Dans les dernières capture d'écran:
- En vert, je calcule M(u) avec un pas de 1/32ème pour u et j'applique à 32 objets (une ligne verte passant par O), pour materialiser la rotation.

- En rouge, l'ancien mode de calcul (extraction d'axis angle de Mp, décomposition de l'angle, et reconstruction de Mpi), qui donne les mêmes résultats que votre précédente méthode, avec un pas de t/32ème pour u, avec là encore une application des 32 matrices résultantes à une ligne rouge passant par O.

ok.
Donc visuellement, en rouge ou en vert, on voit le déplacement d'un vecteur (initialement choisi quelconque ?) qui subit les rotations intermédiaires.
La question que je me pose maintenant est : pourquoi regardez-vous cela ? Quelle(s) conclusion(s) voulez-vous en tirer ?

De votre coté, comment vérifiez vous qu'il s'agit de la geodésique la plus courte entre Ma et Mb svp (la fameuse ligne droite à la surface d'une sphère) ?

Je n'ai pas parlé de géodésique entre les deux rotations Ma et Mb,
mais de géodésique sur la sphère entre les deux vecteurs directeurs des axes de rotation (1,0,0) pour Ma et (0,-1,0) pour Mb.


Quand on part de la rotation Ma d'angle Pi / 2 et d'axe dirigé par (1, 0, 0)
et qu'on veut arriver à la rotation Mb d'angle Pi / 2 et d'axe dirigé par (0, -1, 0),
on va prendre des rotations intermédiaires M(u) d'angle Pi / 2 , "logique" non ?
Et leur axe de rotation de M(u) va être dirigé par un vecteur unitaire que l'on va nommer A(u) :
A(0) = (1, 0, 0)
A(1) = (0, -1, 0)
A(u) = vecteur de norme 1 (c'est-dire sur la sphère !)


On place ces deux vecteurs (1, 0, 0) et (0, -1, 0)sur la sphère : quel est le chemin le plus court sur la sphère reliant (1,0,0) et (0,-1,0) ? C'est l'arc de cercle de centre (0,0,0) et passant par (1,0,0) et (0,-1,0) !
C'est cet arc de cercle que suivent les axes A(u) de rotation des M(u).

Sinon, mes représentation sont faites avec Ogre, dont le système est main droite. Celà pourrait-il venir de là ?

non, peu importe comment on place les axes OX , OY , OZ, .... du moment qu'ils sont orthogonaux ! :lol3:

[Ben314]

De votre coté, comment vérifiez vous qu'il s'agit de la geodésique la plus courte entre Ma et Mb svp (la fameuse ligne droite à la surface d'une sphère) ?

Lorsque l'espace "ambiant" est euclidien, par exemple la sphére terrestre est une partie de et SO(3) est une parti de qui est euclidien muni du produit scalaire usuel , alors pour vérifier qu'une courbe paramétrée est une géodésique, il suffit de vérifier que est toujours orthogonal à l'espace tangent en .
Sur la terre, cela signifie que tu accepte une accélération "vers le haut" ou "vers le bas" (sommet d'une cote dans des montagnes russes ou bas d'une descente), mais pas d'accélération à droite ou à gauche (=virage). C'est ce que l'on fait naïvement en disant qu'une route est "droite" dans une région valonnée : ce n'est pas une droite au sens usuel du terme (ça monte et ça descend), mais on la parcours en voiture sans tourner le volant et un aviateur suit un tel trajet uniquement en poussant/tirant sur le manche à balais (mais pas de mouvement droite/gauche).
Pour revenir sur le cas de SO(3), une équation cartésienne de S(3) est et on en déduit que l'espace tangeant en P est l'ensemble des matrices H telles que c'est à dire où A est antisymétrique.
On montre ensuite assez façilement que les courbes paramétrées de la forme (A antisymétrique) et plus généralement celles de la forme (P dans SO(3)) sont bien des géodésiques de SO(3).

Mais je sais pas si c'est trés clair pour un "non initié"...

Donc les géodésiques pour aller de à , c'est les courbes paramétrées de la forme où A est une des matrice antisymétrique telle que et il faut prendre celle la plus proche de la matrice nulle pour minimiser le trajet.
C'est comme sur la terre où, pour aller d'un point de l'équateur à un autre, il y a deux "géodésique", une partant plein est et l'autre plein ouest. Les deux ont beau être des "lignes droites", il y a en général une des deux plus courte que l'autre (si les points ne sont pas aux antipodes)

Sauf que, comme est une matrice de rotation de même axe que et d'angle où est l'angle de , on retombe exactement précisément sur... ce qu'on faisait avant...

[neoirto]

La question que je me pose maintenant est : pourquoi regardez-vous cela ? Quelle(s) conclusion(s) voulez-vous en tirer ?

Et bien parce que je cherche toujours ma fameuse ligne droite (cad le géodésique le plus direct entre les 2 matrices).
Mais bon, j'ai bien compris que ce n'était pas trivial...

@Ben314

Mais je sais pas si c'est trés clair pour un "non initié"...

Boaaaf c'est un peu chaud, mais en cherchant un peu, j'y arriverai peut être ?

...donc on retombe exactement précisément sur... ce qu'on faisait avant...

Vous voulez dire la toute première méthode (désormais matérialisée par les vecteurs rouges) ?

[Ben314]

Celle là de méthode :

Mp = Mb * transpose(Ma)
matrice de rotation qu'il faut décomposer

t = arccos( ( trace(Mp)-1 ) /2 )
angle de la rotation Mp

P = ( Mp + transpose(Mp) - 2 I ) / 2.(cos(t) -1)
matrice symétrique de projection orthogonale sur le plan orthogonal à l'axe de rotation Mp

Q = ( Mp - transpose(Mp) ) / 2.sin(t)
matrice antisymétrique engendrant le plan orthogonal à l'axe de rotation Mp

Mri = Ma + ( cos(u) -1 ) * (P*Ma) + sin(u) * (Q*Ma) où u = 0, t/10, 2t/10, 3t/10... 10t/10
matrice de rotation

Mr0 = Ma et Mr10 = Mb.

Aprés, sauf erreur, les axes des rotations "intermédiaires" sont effectivement tout situés dans le plan contenant les axes de Ma et de Mb :
Si on écrit (symétries orthogonales par rapport à des plans) où P2 est le plan contenant les axes de Ma et de Mb * transpose(Ma) (qui est le même que celui de Mri)
Ainsi que où est un plan dépendant de i.
Alors la composée des deux est dont l'axe est toujours dans le plan (on doit aussi pouvoir calculer l'angle, mais c'est plus ch...)

[leon1789]

Celle là de méthode :il me semble qu'il y avait une faute de frappe à la fin (un cos(u)-1 à la place de 1-cos(u))

non c'est bien cos(u)-1 car j'ai pris l'opposé de ta matrice P , car -P est une matrice de projection.

P = ( Mp + transpose(Mp) - 2 I ) / 2.(cos(t) -1)

[leon1789]

Et bien parce que je cherche toujours ma fameuse ligne droite (cad le géodésique le plus direct entre les 2 matrices).
Mais bon, j'ai bien compris que ce n'était pas trivial...

vous parlez de géodésiques entre matrices, mais vous regardez des dessins qui présentent des vecteurs. Vous ne voyez pas des matrices avec vos dessins : votre dessin montre une trajectoire d'un vecteur (initialement pris un peu au hasard, non ? (*) ) dans (ou sur la sphère de ) : cela n'a rien à voir avec une géodésique dans (une géodésique avec des matrices de rotation).


(*) et si on change de vecteur initial, cela change complètement vos dessins, non ?

[leon1789]

Lorsque l'espace "ambiant" est euclidien,(...). ce qu'on faisait avant...

Merci Ben de t'être fendu d'une explication sur les géodésique de

[Ben314]

non c'est bien cos(u)-1 car j'ai pris l'opposé de ta matrice P , car -P est une matrice de projection.

P = ( Mp + transpose(Mp) - 2 I ) / 2.(cos(t) -1)

Je rectifie... (désolé)

[leon1789]

Comme vient de l'expliquer Ben314, la première méthode décrite ici http://www.maths-forum.com/showthread.php?p=983575#post983575
se trouve être la méthode qui minimise (suivant une certaine façon de mesurer) les variations des coefficients des matrices de rotations intermédiaires. Ceci est une chose appréciable, mais les matrices produites ne sont pas forcément les plus naturelles auxquelles on pourrait penser. Je m'explique.

Si on reprend votre exemple avec a=b=Pi/2 pour relier
Ma, rotation d'angle Pi/2 et d'axe dirigé par (1,0,0)
et Mb, rotation d'angle Pi/2 et d'axe dirigé par (0,-1,0),
la rotation Mri(u=t/2) produite en milieu de parcours est d'angle ~1.2 et d'axe (0.7, -0.7 ,0)
Sur la sphère, l'axe (0.7, -0.7, 0) paraît bien à mi-chemin entre (1,0,0) et (0,-1,0), mais l'angle n'est pas du tout Pi/2 !

Si on reprend l'exemple de Fatal_error avec a=Pi/3 b=Pi/6 pour relier
Ma, rotation d'angle Pi/3 et d'axe dirigé par (1,0,0)
et Mb, rotation d'angle Pi/6 et d'axe dirigé par (0,-1,0),
la rotation Mri(u = 0.8 * t) produite à 80% de parcours est d'angle ~0.477 et d'axe ~(0.45, -0.89, 0)
Sur la sphère, l'axe (0.45, -0.89, 0) paraît un peut loin de l'axe final (0,-1,0) et surtout l'angle 0.477 est curieusement inférieur à Pi/6 !

[leon1789]

Comme vient de l'expliquer Ben314, la première méthode décrite ici http://www.maths-forum.com/showthread.php?p=983575#post983575
se trouve être la méthode qui minimise (suivant une certaine façon de mesurer) les variations des coefficients des matrices de rotations intermédiaires. Ceci est une chose appréciable, mais les matrices produites ne sont pas forcément les plus naturelles auxquelles on pourrait penser. Je m'explique.

Si on reprend votre exemple avec a=b=Pi/2 pour relier
Ma = rotation d'angle Pi/2 et d'axe dirigé par (1,0,0)
et Mb = rotation d'angle Pi/2 et d'axe dirigé par (0,-1,0),
la rotation Mri(u=t/2) produite en milieu de parcours est d'angle ~1.2 et d'axe ~(0.7, -0.7 ,0)
Sur la sphère, l'axe (0.7, -0.7, 0) paraît bien à mi-chemin entre (1,0,0) et (0,-1,0), mais l'angle 1.2 n'est pas du tout Pi/2 ! Cela peut surprendre...

Si on reprend l'exemple de Fatal_error avec a=Pi/3 b=Pi/6 pour relier
Ma = rotation d'angle Pi/3 et d'axe dirigé par (1,0,0)
et Mb = rotation d'angle Pi/6 et d'axe dirigé par (0,-1,0),
la rotation Mri(u = 0.8 * t) produite à 80% de parcours est d'angle ~0.477 et d'axe ~(0.45, -0.89, 0)
Sur la sphère, l'axe (0.45, -0.89, 0) paraît un peut loin de l'axe final (0,-1,0) et surtout l'angle 0.477 est curieusement inférieur à Pi/6 ! Cela peut surprendre...


En conclusion :
- si on accorde de l'importance aux caractéristiques des rotations (angle et axe) alors la première méthode est objectivement insatisfaisante ;
- si on accorde de l'importance aux matrices (à leurs coefficients), alors la première méthode est la meilleure.

[leon1789]

Comme vient de l'expliquer Ben314, la première méthode décrite ici http://www.maths-forum.com/showthread.php?p=983575#post983575
se trouve être la méthode qui "minimise" (suivant une certaine façon de mesurer) les variations des coefficients des matrices de rotations intermédiaires. Ceci est une chose appréciable, mais les matrices produites ne sont pas forcément les plus naturelles auxquelles on pourrait penser. Je m'explique.

Si on reprend votre exemple avec a=b=Pi/2 pour relier
Ma = rotation d'angle Pi/2 et d'axe dirigé par (1,0,0)
et Mb = rotation d'angle Pi/2 et d'axe dirigé par (0,-1,0),
la rotation Mri(u=t/2) produite en milieu de parcours est d'angle ~1.2 et d'axe ~(0.7, -0.7 ,0)
Sur la sphère, l'axe (0.7, -0.7, 0) paraît bien à mi-chemin entre (1,0,0) et (0,-1,0), mais l'angle 1.2 n'est pas du tout Pi/2 ! Cela peut surprendre...

Si on reprend l'exemple de Fatal_error avec a=Pi/3 b=Pi/6 pour relier
Ma = rotation d'angle Pi/3 et d'axe dirigé par (1,0,0)
et Mb = rotation d'angle Pi/6 et d'axe dirigé par (0,-1,0),
la rotation Mri(u = 0.8 * t) produite à 80% de parcours est d'angle ~0.477 et d'axe ~(0.45, -0.89, 0)
Sur la sphère, l'axe (0.45, -0.89, 0) paraît un peu loin de l'axe final (0,-1,0) et surtout l'angle 0.477 est curieusement inférieur à Pi/6 ! Cela peut surprendre...


En conclusion :
- si on accorde de l'importance aux caractéristiques des rotations (angle et axe) alors la première méthode est objectivement insatisfaisante et la seconde est complètement naturelle ;
- si on accorde de l'importance aux matrices (à leurs coefficients), alors la première méthode est la meilleure (voire l'optimale suivant une certaine mesure mathématique).

[leon1789]

Ben314, je viens de constater que P = -Q² ! Du coup, la première méthode se simplifie encore...

Mp = Mb * transpose(Ma)
matrice de rotation qu'il faut décomposer

t = arccos( ( trace(Mp)-1 ) /2 )
angle de la rotation Mp

Q = ( Mp - transpose(Mp) ) / 2.sin(t)
matrice antisymétrique engendrant le plan orthogonal à l'axe de rotation Mp

Mri = Ma + sin(u) * (Q*Ma) + ( 1- cos(u) ) * (Q*Q*Ma) où u varie de 0 à t
matrice de rotation

Mri(u=0) = Ma et Mri(u=t) = Mb.

[Ben314]

Ben314, je viens de constater que P = -Q² ! Du coup, la première méthode se simplifie encore...

Effectivement, mais je sais pas si ça gagne un max de temps par rapport à l'autre formule qui ne demande que des addition et produit par des scalaires.
Mais c'est quand même joli.

Sinon, je pense que j'ai compris "géométriquement" à quoi ça correspond ce qu'on fait :
Si on note P le plan vectoriel contenant les axes de Ma et Mb alors on peut écrire Ma et Mb sous la forme où les désignent les symétries orthogonales par rapport à des plans et où et sont des plans bien choisis contenant les axes de Ma et de Mb.
Les pland Pa et Pb se coubent suivant une droite Delta et en fait, nos "rotations intermédiaires" sont celles de la forme où Q est un plan vectoriel contenant Delta et variant petit à petit de Pa à Pb. (l'angle entre Q et Pa varie régulièrement de 0 à l'angle entre Pa et Pb)

Ca ressemble donc beaucoup à un truc équivalent dans le plan où, pour passer d'une rotation Ma de centre A à une rotation Mb de centre B, on écrit , (où cette fois les désignent les symétries orthogonales par rapport à des droites) avec pour C un point bien choisi (éventuellement à l'infini si Ma et Mb ont même angle).
Ensuite, les "rotations intermédiarire", c'est les où M parcours le segment [AB].
Une telle rotation est centrée en M et a clairement un angle compris entre celui de Ma et celui de Mb.
Si Ma et Mb ont le même angle alors le point C est "à l'infini", les "droites passant par C" sont des parallèles et les angles des rotations intermédiaires sont tous les mêmes

La seule différence (mais elle a son importance), c'est qu'en dimension 3, pour représenter les plans par des "droites", il faut prendre leur intersection avec la sphère unité et on obtient des géodésiques sur la sphère (i.e. des grand cercles) et la géométrie sphérique n'est pas tout à fait la même que la géométrie plane.
En particulier, il n'y a plus de notion de "droites parallèles" et la somme des angles d'un triangle ne fait plus 180° et ça explique que, même si les angles de Ma et Mb sont les mêmes, les angles des "rotations intermédiaires" ne vont pas rester constant (sauf dans le cas où ces deux angles sont de 180° c'est à dire où les plans Pa et Pb sont tout les deux orthogonaux au plan P : dans ce cas, tout les plans passant par la droite Delta seront orthogonaux à P donc les angles des rotations intermédiaires seront aussi de 180°)

[Dlzlogic]

Juste une petite réaction.
J'avais fait une belle réponse, mais comme cela m'est interdit, j'ai effacé.