Groupe de rotations

par **barbu23** » 17 Mar 2010, 19:09

Bonsoir, :happy3:

est le groupe des rotations de l'espace euclidien

Soit

.
Soit

le sous groupe d'isotropie ( stabilisateur ) de

.
Montrer que : le groupe quotient

( car

est abelien ) est une sphère.
Merci d'avance ! :happy3:

par **Nightmare** » 17 Mar 2010, 19:16

Salut,

tu peux montrer que SO(3) opère continûment et transitivement sur la sphère. Ca en plus de sa compacité, ça devrait suffire !

par **barbu23** » 17 Mar 2010, 19:28

@Nightmare : :happy3:
Si on note cette action :

tel que :

opère transitivement sur la sphère :
Il s'agit de trouver , pour deux vecteurs quelconques de la sphère

et

, une rotation

tel que :

, autrement dit, il faut trouver une matrice

, de determinant

:

tel que :

.
Est ce possible ? y'a-t-il une methode pour trouver

? ( un algorithme )
Merci d'avance de votre aide ! :happy3:

par **barbu23** » 17 Mar 2010, 19:46

L'idée, m'est suffisemment clair, reste à la formaliser
Si on prend deux points distincts sur une sphère, il est toujours possible d'aller de l'un à l'autre au moyen d'une rotation ! :happy3:
Reste à definir cette rotation ( en utilisant les coordonnées spheriques non ? ) :happy3:

par **barbu23** » 17 Mar 2010, 21:11

y'a pas quelqu'un à m'aider là ? :happy3:
Je ne suis pas trop calé dans ce domaine d'action de groupes !
Merci d'avance ! :happy3:

par **barbu23** » 18 Mar 2010, 14:04

Je trouve pas encore de reponses à cette question ! quelqu'un a une petite idée ? :happy3:
Merci d'avance ! :happy3:

par **Doraki** » 18 Mar 2010, 14:08

Je vois pas comment tu obtiens un homéomorphisme entre SO(3)/S(x) et S^2, juste en regardant

.

par **barbu23** » 18 Mar 2010, 14:17

Attend ! ce que tu dis là m'inspire un peu quelque chose que moi même je n'y parvines pas encore !
Y'a -t-il un equivalent topologique à la notion algébrique du théorème de factorisation ( passage au quotient ) ?
Parceque là, tu dis que

est homéomorphe à

faut definir une application

( homomorphisme topologique peut être ) et enssuite passer au quotient ! est ce la bonne idée ? :happy3:
Merci d'avance ! :happy3:

par **barbu23** » 18 Mar 2010, 14:27

c'est pas ça :

avec

une matrice de determinant

?
Est ce que :

?

par **Doraki** » 18 Mar 2010, 14:27

Ben faudrait décider quelle topologie mettre sur SO(3)/S(x) pour commencer.

Comme je connais pas particulièrement de structure de groupe sur S^2, je pense que tu parlais d'homéomorphisme et que tu aurais du te poser la question de "qu'est-ce que je peux bien vouloir dire par SO(3)/S(x) est une sphère" dès le début.

par **barbu23** » 18 Mar 2010, 14:29

ben

, donc

Donc,

est bien definie ! :happy3:

par **barbu23** » 18 Mar 2010, 14:31

Doraki a écrit:Ben faudrait décider quelle topologie mettre sur SO(3)/S(x) pour commencer.

Comme je connais pas particulièrement de structure de groupe sur S^2, je pense que tu parlais d'homéomorphisme et que tu aurais du te poser la question de "qu'est-ce que je peux bien vouloir dire par SO(3)/S(x) est une sphère" dès le début.

ben la topolgie quotient usuelle definie par la surjection canonique :

bien sûr ! :happy3:
la sphère est symetrique, donc, elle a une structure de groupe sous jacente ! :happy3:

par **barbu23** » 18 Mar 2010, 14:37

est un homomorphisme de groupes pour la loi multiplicatif matricielle. ( evident : la composée de deux rotations et une rotation )
pourquoi, c'est continue ? :happy3:

par **barbu23** » 18 Mar 2010, 14:56

un coup de main je vous en supplie ! :happy3:

par **Doraki** » 18 Mar 2010, 15:41

barbu23 a écrit:la sphère est symetrique, donc, elle a une structure de groupe sous jacente ! :happy3:

Ah bon ? Je suis curieux, ça donne quoi, (0,1,0) * (0,1/sqrt(2),-1/sqrt(2)) ?

par **barbu23** » 18 Mar 2010, 15:45

Oui, mais quel est l'idée là pour s'en sortir ! :hum:

par **barbu23** » 18 Mar 2010, 15:56

Doraki a écrit:Ah bon ? Je suis curieux, ça donne quoi, (0,1,0) * (0,1/sqrt(2),-1/sqrt(2)) ?

Oui, mais là,

est un peu special ! :happy3:

est surjective ( evident ) car pour chaque point de la sphère il existe une rotation qui va de

vers ce point ! :happy3:
Maintenant, quel est cette loi que tu note toi

?

sur la sphère, il existe dexu rotations :

tel que :

et voilà ! c'est proche de la notion de vectorialisé si tu te souviens ce que c'est ! :happy3:

par **barbu23** » 18 Mar 2010, 16:13

tu lis ça juste au debut : :happy3:
http://www.reunion.iufm.fr/dep/mathematiques/PLC1/Resources/Barycentre.pdf

par **Doraki** » 18 Mar 2010, 16:19

barbu23 a écrit:Maintenant, quel est cette loi que tu note toi ?

Bah celle à laquelle tu penses quand tu dis "la sphère est symétrique, donc, elle a une structure de groupe sous-jacente"

Un cube c'est symétrique aussi, donc un cube ça a aussi une structure de groupe sous-jacente ?

Aussi, rien à voir, mais j'adore comment tu passes de

Il s'agit de trouver , pour deux vecteurs quelconques de la sphère et , une rotation tel que : . Est ce possible ?

à

est surjective ( evident ) car pour chaque point de la sphère il existe une rotation qui va de vers ce point ! :happy3:

par **barbu23** » 18 Mar 2010, 16:26

Doraki a écrit:Bah celle à laquelle tu penses quand tu dis "la sphère est symétrique, donc, elle a une structure de groupe sous-jacente"

Un cube c'est symétrique aussi, donc un cube ça a aussi une structure de groupe sous-jacente ?

Oui , mais là j'en sai rien ! c'est le groupe diedral qui agit sur un cube, mais pas le groupe des rotations ! enfin, j'en sais rien, je ne me souviens pas bien de grandes choses là dessus ! la theorie des groupes n'est pas trop mon truc pour être franc ! :happy3:
faut remplacer SO(3) par un autre groupe pour exhiber le caractère : groupe chez un cube ! :happy3:
REEDIT : Pour la suite de ton message :
Manuellement on est capable d'imaginer une rotation entre deux points de la sphère ! est ce vrai où non ! par contre, formellement, il y'a du travail à faire ! moi, je ne sais pas comment decrire ça en language mathematique ! :happy3:

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