Suite

[Victhemath]

Bonjour, je dois démontrer que :

k=n
vn= (somme) 1/(k*(k-1))
k=2

Avec ma décomposition en éléments simples, je trouve :

k=n k=n
somme -1/k + somme 1/(k-1)
k=2 k=2

Comment faire la suite ? J'espère que vous comprendrez les notations :)

[Trias]

Salut,

Effectivement tu as la bonne "astuce" pour ce type d'exercices!
Tu as donc fait le plus dur.
Dans ta décomposition, il faut faire un changement d'indice pour faire varier k non plus de 2 à n mais de 1 à (n-1), je te laisse essayer ça et me dire ce que tu trouves !

[nodjim]

Ce que je ne comprends pas c'est la question: qu'est ce que tu dois démontrer ?

[Trias]

Je pense qu'il ne doit rien démontrer mais plutôt calculer, je me trompe?

[Victhemath]

Oui pardon, je dois exprimer la suite en fonction de n !
Je vais essayer de faire le changement d'indice.

[Victhemath]

Si je pose i=k-1

Je me retrouve avec :

n-1 n-1
Somme -1/(i+1) + Somme 1/i
i=1 i=1

C'est bon jusque là ?

[hajar MT]

tu vas trouver si on pose i=k-1
n n+1
vn=Somme -1/k + Somme 1/i ( i est une variable muéte alors on peut le noté k)
k=2 i=1


n n
vn= -Somme 1/k + Somme 1/k +1+1/(n+1)= 1+1/(n+1)
k=2 k=2
ou tu peux larésoudre d'une aute manier en regardent que Vn est une série télescopique

[Trias]

Le but est que tu te retrouves avec deux sommes dont les indices sont strictement identiques, pour que le calcul se simplifie !
Et non, ce que tu as écrit était faux, relis ton calcul Victhemath ;)

[Victhemath]

Au dessus des sommes, je pense que c'est n-1, c'est là le problème ? En faisant la somme télescopique, je trouve 1-(1/n)

[Trias]

Normalement tu trouves S (ta somme)
avec S= ((somme de k allant de 2 à n) de (1/(k-1))) - (somme k=2 à n de (1/k))
donc S= (somme k=1 à n-1 de (1/k)) - (somme k=2 à n de (1/k))
donc S= 1 - 1/n
parce que tu peux annuler tous tes termes sauf en 1 et n

C'est bon ?

[Victhemath]

Parfait, je n'avais à toucher qu'à une seule somme finalement, merci à vous tous !!!

Et vive les maths :)