Sujet Bac sur les fonctions - Terminale S

[clemklem]

Bonjour tout le monde,
Je suis actuellement entrain de travailler sur des annales bac et je ne m'en sors pas! Ca fait des heures que je suis bloquée sur cet exercices alors s'il vous plait, si quelqu'un pouvait m'apporter un peu de lumière ça serait bien gentil! Je vous préviens tout de suite, les maths ce n'est pas mon fort donc ne vous étonnez pas si vous voyez à quel point je suis nulle et à quel point je peut butter sur des choses qui peuvent vous paraître facile.
Voici le sujet:

PARTIE A :
Soit p la fonction numérique de la variable réelle x telle que :
p(x)= (3x²+ax+b)/(x²+1)
Déterminer les réels a et b pour que la courbe représentative de p soit tangente au point I de coordonnées (0; 3) à la droite (T) d'équation y=4x+3.

PARTIE B :
Soit f la fonction numérique de la variable réelle x telle que : f(x)=(3x²+4x+3)/(x²+1)
1) Montrer que pour tout x réel, on a f(x)=alpha+ (beta*x)/(x²+1), alpha et beta étant deux réels que l'on déterminera.
2) Etudier la fonction f.
3)Etudier la position de la courbe (C) représentative de f par rapport à la tangente (T) au point I de coordonnées (0; 3).
Démontrer que I est centre de symétrie de (C).
4) Construire la courbe (C); on prendra pour unité 2 cm.
5) Soit g la fonction numérique de la variable réelle x telle que : g(x)=(3x²+4IxI+3)/(x²+1)
Soit (C') la courbe représentative de g.
Sans étudier la fonction g, construire en pointillé la partie de (C') non contenue dans (C). (Justifier.)

Donc voilà, j'ai répondu à la partie A donc si je vous passe les calculs j'obtiens a= 4 et b= 3.
(En revanche je ne sais pas si les parties A et B sont indépendantes ou non)

Ensuite j'ai partiellement répondu à la partie B.
1) J'ai trouvé alpha= 3 et beta= 4

2) (Si je passe les détails de calculs) J'ai trouvé l'ensemble de définition qui est R.
La limite est 3.
Et c'est là que ça se gâte: Je cherche à trouver les variations. Donc je commence par faire un tableau de signe de la dérivé qui est la suivante f'(x)= (-4*(x-1))/(x²+1)²
Le problème c'est que j'ai du coup un tableau de signe plutôt étrange:

x-1: - de - l'infini à 1 puis + de 1 à plus l'infini
-4: - sur R
(x²+1)² : positif sur R privé de racine de 1
f'(x): positif sur - l'infini à racine de 1 et sur racine de 1 à 1, puis négatif sur 1 à + l'infini
Donc je crois qu'il est légitime de penser que je me suis trompée quelque part mais où?
Donc pas la peine de chercher un tableau de variation avec des résultats pareils...

3) Pour étudier la position de deux courbes de fonction f et y, on étudie le signe de f(x) - y(x).
Or je ne sais pas ce que vaut y donc je ne peux pas répondre à cette question.

5) g(x) = (3x²+3+4|x|)/x²+1= 3+(4|x|)/(x²+1)
Or, pour tout x: x²+1>0, donc: |x²+1|=x²+1
Donc: g(x) = 3 + |4x/(x²+1)|
Et à partir de la, je ne sais plus quoi faire...
Donc voilà, j’apprécierai toute gentille personne qui, rodant dans le coin, trouverait des solutions à mes problèmes, ou au moins une lumière pour éclairer ma route. Merci beaucoup :happy3:

[Carpate]

Bonjour tout le monde,
Je suis actuellement entrain de travailler sur des annales bac et je ne m'en sors pas! Ca fait des heures que je suis bloquée sur cet exercices alors s'il vous plait, si quelqu'un pouvait m'apporter un peu de lumière ça serait bien gentil! Je vous préviens tout de suite, les maths ce n'est pas mon fort donc ne vous étonnez pas si vous voyez à quel point je suis nulle et à quel point je peut butter sur des choses qui peuvent vous paraître facile.
Voici le sujet:

PARTIE A :
Soit p la fonction numérique de la variable réelle x telle que :
p(x)= (3x²+ax+b)/(x²+1)
Déterminer les réels a et b pour que la courbe représentative de p soit tangente au point I de coordonnées (0; 3) à la droite (T) d'équation y=4x+3.

PARTIE B :
Soit f la fonction numérique de la variable réelle x telle que : f(x)=(3x²+4x+3)/(x²+1)
1) Montrer que pour tout x réel, on a f(x)=alpha+ (beta*x)/(x²+1), alpha et beta étant deux réels que l'on déterminera.
2) Etudier la fonction f.
3)Etudier la position de la courbe (C) représentative de f par rapport à la tangente (T) au point I de coordonnées (0; 3).
Démontrer que I est centre de symétrie de (C).
4) Construire la courbe (C); on prendra pour unité 2 cm.
5) Soit g la fonction numérique de la variable réelle x telle que : g(x)=(3x²+4IxI+3)/(x²+1)
Soit (C') la courbe représentative de g.
Sans étudier la fonction g, construire en pointillé la partie de (C') non contenue dans (C). (Justifier.)

Donc voilà, j'ai répondu à la partie A donc si je vous passe les calculs j'obtiens a= 4 et b= 3.
(En revanche je ne sais pas si les parties A et B sont indépendantes ou non)

Ensuite j'ai partiellement répondu à la partie B.
1) J'ai trouvé alpha= 3 et beta= 4

2) (Si je passe les détails de calculs) J'ai trouvé l'ensemble de définition qui est R.
La limite est 3.
Et c'est là que ça se gâte: Je cherche à trouver les variations. Donc je commence par faire un tableau de signe de la dérivé qui est la suivante f'(x)= (-4*(x-1))/(x²+1)²
Le problème c'est que j'ai du coup un tableau de signe plutôt étrange:

x-1: - de - l'infini à 1 puis + de 1 à plus l'infini
-4: - sur R
(x²+1)² : positif sur R privé de racine de 1
f'(x): positif sur - l'infini à racine de 1 et sur racine de 1 à 1, puis négatif sur 1 à + l'infini
Donc je crois qu'il est légitime de penser que je me suis trompée quelque part mais où?
Donc pas la peine de chercher un tableau de variation avec des résultats pareils...

3) Pour étudier la position de deux courbes de fonction f et y, on étudie le signe de f(x) - y(x).
Or je ne sais pas ce que vaut y donc je ne peux pas répondre à cette question.

5) g(x) = (3x²+3+4|x|)/x²+1= 3+(4|x|)/(x²+1)
Or, pour tout x: x²+1>0, donc: |x²+1|=x²+1
Donc: g(x) = 3 + |4x/(x²+1)|
Et à partir de la, je ne sais plus quoi faire...
Donc voilà, j’apprécierai toute gentille personne qui, rodant dans le coin, trouverait des solutions à mes problèmes, ou au moins une lumière pour éclairer ma route. Merci beaucoup :happy3:

qui est du signe de
f décroît sur , croît sur [-1;+1], f décroît sur
3) Etablis une équation de la tangente (T) à (C) au point I
soit y=t(x) puis étudie le signe de

[clemklem]

Pour la question 2 je comprends maintenant où je me suis trompée, et j'obtiens donc le bon résultat.
Quant à la question 3, je ne comprends pas quelles informations je suis sensée utiliser pour trouver l'équation de la tangente...

[Carpate]

Pour la question 2 je comprends maintenant où je me suis trompée, et j'obtiens donc le bon résultat.
Quant à la question 3, je ne comprends pas quelles informations je suis sensée utiliser pour trouver l'équation de la tangente...

S'il t'arrivait un jour de relire ton cours, tu pourrais tomber sur cette information :
L'équation de la tangente en un point à la courbe d'équation est :
(1)
Et si ta mémoire ne te permet pas de la retenir par coeur, tu peux la retrouver facilement
La dérivée en un point est égal au rapport de l'accroissement de la fonction sur l'accroissement de la variable soit :
d'où la formule (1)

[Tiruxa]

Bonjour,

En fait tu n'as pas réalisé que p et f sont les mêmes fonctions puisque a=4 et b= 3, donc la tangente au point d'abscisse 0 est la droite T de la partie A. Pas besoin de la chercher, tu peux passer au calcul de la différence.

[Tiruxa]

Pour la question 5, il suffit de voir que pour x positif, f(x)=g(x).
Ensuite une étude de la parité de la fonction g te permet de trouver la partie de la courbe sur R-

Bon travail

[clemklem]

D'accord, j'ai enfin compris. Merci Tixura.
Quand à Carpate, pas la peine d'insinuer que je ne relis jamais mon cours étant donné que notre professeur nous a donné ce DM à faire avant de faire le cours lui-même, comme une sorte d'introduction. Alors je sais que je peux paraître débile à vos yeux mais si j'avais eu un cours j'aurais tout de même eu la brillante idée que vous m'avez soufflée qui est de relire celui-ci. Donc n'insinuez pas des choses alors que vous n'êtes au courant de rien merci.