Toute sphère est un fermé

[alm]

j'ai oublié d'ajouter que mais elle necessite d'avoir prouvé que est un fermé, dont la preuve n'est pas plus simple que celle de "la sphére est fermée"

[Elizabet]

Donc pour toi toute suite décroissante d'ouverts est un fermé...........

Pardon, tout fermé est une suite décroissante d'ouverts. D'autre part : , car si : et si on pose: d'où le complémentaire de est ouvert. Idem donc pour la sphère...

[Ben314]

Attention au contexte dans lequel l'exercice est posé (espace métrique quelconque ou bien R^n muni de la distance euclidienne)

Dans le cas général (espaces métriques), ça :

je suppose que ce que tu vux ecrire c'est:

c'est faux :
Par exemple si d est la distance discrète [d(x,y)=0 si x=y et =1 sinon] sur l'espace E et r=1 alors
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Par contre, ce qui est (évidement) vrai dans tout les cas, c'est que où qui est en général distinct de (mais c'est effectivement la même chose dans le cas de la métrique euclidienne sur R^n)

[deltab]

Bonsoir.

La difficulté provient du fait que la propriété à montrer est plus une notion topologique qu'une notion métrique. Dans un espace métrique, une sphère peut être vide alors que dans un e.v.n. elle ne l'est jamais.