Inegalité triangulaire

[Houda.9rayti]

Bonsoir,
On me demande de demontrer que pour tout x,y E R
|x| + |y| < |x+y| + |x-y|

J'ai naturellement pensé à l’inégalité triangulaire
|x+y| < |x|+|y|
| |x| - |y| | < |x-y|

Mais comment y procéder ?

Merci

[chombier]

Bonsoir,
On me demande de demontrer que pour tout x,y E R
|x| + |y| < |x+y| + |x-y|

J'ai naturellement pensé à l’inégalité triangulaire
|x+y| < |x|+|y|
| |x| - |y| | < |x-y| (E)

Mais comment y procéder ?

Merci

Tu te rappelles comment on démontre la seconde inégalité triangulaire (E) ?

Essaies de la retrouver, sinon retrouve la démonstration, ça sera un très bon exercice.


D'autant que l'astuce pour faire ton exercice est très très similaire.

[Archytas]

Applique : |x+y| < |x|+|y| à |x+y|+|x-y| puis |x+y|+|y-x| et somme les deux (; !

[chombier]

Bonsoir,
On me demande de demontrer que pour tout x,y E R
|x| + |y| < |x+y| + |x-y|

J'ai naturellement pensé à l’inégalité triangulaire
|x+y| < |x|+|y|
| |x| - |y| | < |x-y|

Mais comment y procéder ?

Merci

J'ai une conjecture

|x+y| + |x-y| = |x| + |y| + | |x| - |y| |

C'est toujours un casse tête, les inégalités des valeurs absolues de différences, des différences de valeurs absolues, des valeurs absolues de différences de valeurs absolues...

[chombier]

Je crois que j'y vois clair. Le souci avec ce genre d'exercices c'est qu'on est très tenté de travailler par disjonction des cas (x>0 ou x<0 ; y>0 ou y<0 ; x>y ou x|y| ou |y|<|x|, etc) mais c'est fastidieux, et vraiment pas synthétique. Seulement parfois on n'a pas le choix, mais il faut trouver où disjoindre ! Voici mon idée :

Si x et y sont de même signe, alors |x+y|=|x|+|y| et |x-y|=| |x| - |y| |
Si x et y sont de signe opposé, alors

(je te laisse terminer ?)

[Houda.9rayti]

Tu as bien raison Chombier! Merci tout de même
D'autres idées les gars ?

[chombier]

Tu as bien raison Chombier! Merci tout de même
D'autres idées les gars ?

J'ai trouvé, je t'ai donné une piste.

[Houda.9rayti]

Ah je suis désolée, je n'avais pas actualisé la page!
Je ne vois pas le lien entre l'egalité ( si x et y ont le meme signe ) et ce que je chercher à démonter ..

[Houda.9rayti]

Ah si c'est verifié quand x et y sont de même signe!

[Houda.9rayti]

mais que peut on dire s'ils sont de signes opposés ?

[Houda.9rayti]

Finalement c'est Archytas qui a raison... sa méthode est rapide et efficace!
Merci tous le monde
Je m'excuse pour le monologue

[chombier]

mais que peut on dire s'ils sont de signes opposés ?

Si x et y sont de même signe, alors |x+y|=|x|+|y| et |x-y|=| |x| - |y| |
Si x et y sont de signe opposé, alors |x-y|=|x|+|y| et |x+y|=| |x| - |y| |

Ce qui prouve ma conjecture : |x+y| + |x-y| = |x| + |y| + | |x| - |y| |


Ma méthode fonctionne, mais je suis curieux de voir ta démonstration

[Houda.9rayti]

Voilà ce qu'a proposé Archytas :
on a | a + b | < |a| + |b|
Pose a = x+y et b = x-y
De la même façon
Pose a = x+y et b= y-x

Tu fais la somme et tu divise par 2
et hop CQFD

[Houda.9rayti]

on trouve dans un premier temps :
2|x| < |x+y| + |x-y|

et

2 |y| < |x+y| + |x-y|

[chombier]

on trouve dans un premier temps :
2|x| < |x+y| + |x-y|

et

2 |y| < |x+y| + |x-y|

Exact, je l'avais sous le nez pourtant :marteau:

N’empêche que |x+y| + |x-y| = |x| + |y| + | |x| - |y| |

Donc |x+y| + |x-y| <= |x| + |y|, et l'égalité n'a lieu que si |x| = |y|.

[Houda.9rayti]

[quote="chombier"]Exact, je l'avais sous le nez pourtant :marteau:

N’empêche que |x+y| + |x-y| = |x| + |y| + | |x| - |y| |

Donc |x+y| + |x-y| = |x| + |y|

[Houda.9rayti]

Merci beaucoup Chombier

[chombier]

c'est plutôt
|x+y| + |x-y| >= |x| + |y|

Exact. Et de rien Je m'entraine, ici