Inegalité triangulaire
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Houda.9rayti
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par Houda.9rayti » 20 Oct 2013, 22:12
Bonsoir,
On me demande de demontrer que pour tout x,y E R
|x| + |y| < |x+y| + |x-y|
J'ai naturellement pensé à linégalité triangulaire
|x+y| < |x|+|y|
| |x| - |y| | < |x-y|
Mais comment y procéder ?
Merci
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chombier
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par chombier » 20 Oct 2013, 22:25
Houda.9rayti a écrit:Bonsoir,
On me demande de demontrer que pour tout x,y E R
|x| + |y| < |x+y| + |x-y|
J'ai naturellement pensé à linégalité triangulaire
|x+y| < |x|+|y|
| |x| - |y| | < |x-y| (E)
Mais comment y procéder ?
Merci
Tu te rappelles comment on démontre la seconde inégalité triangulaire (E) ?
Essaies de la retrouver, sinon retrouve la démonstration, ça sera un très bon exercice.
D'autant que l'astuce pour faire ton exercice est très très similaire.
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Archytas
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par Archytas » 20 Oct 2013, 22:26
Applique : |x+y| < |x|+|y| à |x+y|+|x-y| puis |x+y|+|y-x| et somme les deux (; !
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chombier
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par chombier » 20 Oct 2013, 22:44
Houda.9rayti a écrit:Bonsoir,
On me demande de demontrer que pour tout x,y E R
|x| + |y| < |x+y| + |x-y|
J'ai naturellement pensé à linégalité triangulaire
|x+y| < |x|+|y|
| |x| - |y| | < |x-y|
Mais comment y procéder ?
Merci
J'ai une conjecture
|x+y| + |x-y| = |x| + |y| + | |x| - |y| |
C'est toujours un casse tête, les inégalités des valeurs absolues de différences, des différences de valeurs absolues, des valeurs absolues de différences de valeurs absolues...
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chombier
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par chombier » 20 Oct 2013, 22:47
Je crois que j'y vois clair. Le souci avec ce genre d'exercices c'est qu'on est très tenté de travailler par disjonction des cas (x>0 ou x<0 ; y>0 ou y<0 ; x>y ou x|y| ou |y|<|x|, etc) mais c'est fastidieux, et vraiment pas synthétique. Seulement parfois on n'a pas le choix, mais il faut trouver où disjoindre ! Voici mon idée :
Si x et y sont de même signe, alors |x+y|=|x|+|y| et |x-y|=| |x| - |y| |
Si x et y sont de signe opposé, alors
(je te laisse terminer ?)
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Houda.9rayti
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par Houda.9rayti » 20 Oct 2013, 22:58
Tu as bien raison Chombier! Merci tout de même
D'autres idées les gars ?
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chombier
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par chombier » 20 Oct 2013, 23:00
Houda.9rayti a écrit:Tu as bien raison Chombier! Merci tout de même
D'autres idées les gars ?
J'ai trouvé, je t'ai donné une piste.
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Houda.9rayti
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par Houda.9rayti » 20 Oct 2013, 23:07
Ah je suis désolée, je n'avais pas actualisé la page!
Je ne vois pas le lien entre l'egalité ( si x et y ont le meme signe ) et ce que je chercher à démonter ..
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Houda.9rayti
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par Houda.9rayti » 20 Oct 2013, 23:10
Ah si c'est verifié quand x et y sont de même signe!
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Houda.9rayti
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par Houda.9rayti » 20 Oct 2013, 23:13
mais que peut on dire s'ils sont de signes opposés ?
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Houda.9rayti
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par Houda.9rayti » 20 Oct 2013, 23:16
Finalement c'est Archytas qui a raison... sa méthode est rapide et efficace!
Merci tous le monde
Je m'excuse pour le monologue
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chombier
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par chombier » 20 Oct 2013, 23:17
Houda.9rayti a écrit:mais que peut on dire s'ils sont de signes opposés ?
Si x et y sont de même signe, alors |x+y|=|x|+|y| et |x-y|=| |x| - |y| |
Si x et y sont de signe opposé, alors |x-y|=|x|+|y| et |x+y|=| |x| - |y| |
Ce qui prouve ma conjecture : |x+y| + |x-y| = |x| + |y| + | |x| - |y| |
Ma méthode fonctionne, mais je suis curieux de voir ta démonstration
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Houda.9rayti
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par Houda.9rayti » 20 Oct 2013, 23:23
Voilà ce qu'a proposé Archytas :
on a | a + b | < |a| + |b|
Pose a = x+y et b = x-y
De la même façon
Pose a = x+y et b= y-x
Tu fais la somme et tu divise par 2
et hop CQFD
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Houda.9rayti
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par Houda.9rayti » 20 Oct 2013, 23:24
on trouve dans un premier temps :
2|x| < |x+y| + |x-y|
et
2 |y| < |x+y| + |x-y|
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chombier
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par chombier » 20 Oct 2013, 23:27
Houda.9rayti a écrit:on trouve dans un premier temps :
2|x| < |x+y| + |x-y|
et
2 |y| < |x+y| + |x-y|
Exact, je l'avais sous le nez pourtant :marteau:
Nempêche que |x+y| + |x-y| = |x| + |y| + | |x| - |y| |
Donc |x+y| + |x-y| <= |x| + |y|, et l'égalité n'a lieu que si |x| = |y|.
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Houda.9rayti
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par Houda.9rayti » 20 Oct 2013, 23:37
[quote="chombier"]Exact, je l'avais sous le nez pourtant :marteau:
Nempêche que |x+y| + |x-y| = |x| + |y| + | |x| - |y| |
Donc |x+y| + |x-y| = |x| + |y|
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Houda.9rayti
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par Houda.9rayti » 20 Oct 2013, 23:43
Merci beaucoup Chombier
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chombier
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par chombier » 20 Oct 2013, 23:44
Houda.9rayti a écrit:c'est plutôt
|x+y| + |x-y| >= |x| + |y|
Exact. Et de rien
Je m'entraine, ici
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