Inégalité triangulaire

[Human]

Bonjour,
J'ai trouvé cet exercice dans un livre et j'aimerais bien le résoudre mais malheureusement je suis vraiment perdu.
Voici l'exercice http://hpics.li/afcfb04 :mur:
Je demande votre aide. Pouvez vous me donner quelques indications?

Merci d'avance

[Laurent Watteau]

Pour la première question :
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(1):

Je vais essayer de prouver (1) par la contraposée. En effet, Montrer (1) est équivalent à montrer que

A partir de là, on peut avoir l'idée d'introduire une fonction définie par , et tenter de montrer que cette fonction est en fait injective, c'est à dire que .

Je remarque que quand , et que quand . Anecdotiquement, en a aussi . est donc "grosso modo" - macroscopiquement si on veut - croissante... L'idée qui me vient est alors d'essayer de montrer qu'elle est en réalité strictement croissante. Pourquoi ? Parce que si cela marche, de la stricte monotonie on pourra déduire l'injectivité, ce que je cherche à montrer.

Maintenant comment montrer que cette fonction est strictement croissante ? Bien entendu, on pense très vite à regarder du côté de la fonction dérivée : si elle est strictement positive, c'est gagné... Par contre je n'aime pas trop ce que va donner la dérivée de la fraction avec la racine carrée... donc je vais essayer de ruser un peu :

Après tout, si on pose et , on a

Je remarque que est strictement croissante (c'est trivial), et que aussi (calcule la dérivée de , cela devient évident) : est donc également strictement croissante en tant que composée de deux fonctions qui le sont.

De cette stricte monotonie, on déduit l'injectivité de et donc ce qu'on cherchait à montrer.

[chan79]

salut
autre approche:
si on a

alors






tu en déduis alors que

[zygomatique]

salut



et mets tout dans un membre et on factorise ...

:lol3:

[chan79]

Pour la question 2, on y arrive en posant

x=b+c-a
y=c+a-b
z=a+b-c