Développements limités d'ordre 3

[Bisounours2013]

Bonjour,

Actuellement en 1ère année de BTS, nous effectuons les développements limités en maths mais j'ai beaucoup de difficulté ( enfin toute la classe ) avec un proffeseur pas très coopérative avec nous. Actuellement nous somme a 3 de moyennes pour le première module --' donc un peu d'aide serais pas de refus.

Alors la consigne : Déterminer les développements limités d'ordre 3, au voisinage de 0, des fonctions suivantes :
1_ f(x)=3/(x+2)²
2_ f(x)=-1/(1+sin2x)^3
3_ f(x)=racine(1+ln(1+3x))
4_ f(x)=(1+e^-3x)cosx
5_f(x)=e^(3-sinx)

Je demande pas forcement les réponses mais des indications afin d'y y résoudre.

Merci bien a vous et a bientôt.

[adrien69]

À mon humble avis le plus utile pour toi ici c'est d'avoir la réponse et de faire les calculs par toi-même.
Par exemple pour le premier : 3/4-3x/4+9x²/16-3x^3/8 + o(x^3)
Il te reste à trouver le même résultat comme tu peux. ;)

[Black Jack]

1)
f(x)=3/(x+2)²
f'(x) = 3. (-2(x+2))/(x+2)^4 = -6/(x+2)³
f''(x) = -6 (-3(x+2)²)/(x+2)^6 = 18/(x+2)^4
f'''(x) = -18 * 4(x+4)³/(x+4)^8 = -72/(x+2)^5

Au voisinage de 0 ---> on calcule en 0 :
f(0)=3/(2)² = 3/4
f'(0) = -6/(2)³ = -3/4
f''(0) = 18/(2)^4 = 9/8
f'''(0) = -72/(2)^5 = -72/32 = -9/4

DL :
f(x) = f(0) + f'0.(x-0)/1! + f''(0).(x-0)²/2! + f'''(0).(x-0)³/3! + o(x³)

f(x) = 3/4 - (3/4).x + (9/8).x²/2 - (9/4).x³/6 + o(x³)

f(x) = 3/4 - (3/4).x + (9/16).x² - (3/8).x³ + o(x³)
*****
Pour l'ordre 3 au voisinage de 0 :

On calcule les valeurs de f(0) , f'(0) , f''(0) et f'''(0)

Et le DL s'obtient par :

f(x) = f(0) + f'0.x/1! + f''(0).x²/2! + f'''(0).x³/3! + o(x³)

:zen:

[adrien69]

Euh BlackJack, ne le prends pas mal, mais ta méthode est CELLE À NE SURTOUT JAMAIS EMPLOYER.
Ici, pour le 1)

1/(x+2)²=1/(4+4x+x²)=1/4 * 1/(1+x+x²/4)=1/4 * (1-(x+x²/4)+(x+x²/4)²-(x+x²/4)^3 +o(x^3))
=1/4 * (1-x+3x²/4-x^3/2 + o(x^3))
On a le résultat en multipliant par 3.

[Black Jack]

Je ne prends pas mal.

La méthode que j'ai donnée n'est peut être la plus courte pour l'exercice 1 ...

Mais elle a le gros avantage de pouvoir être appliquée pour tous les exercices donnés et pour la majorité de ceux que pourrait rencontrer Bisounours2013.

C'est donc, peut-être préférable (méthode systématique) pour quelqu'un qui débute.

On peut aussi de servir des DL classiques qu'on retient par coeur et qu'on accomode pour résoudre certains exercices ...

Je ne sais pas ce qui a été enseigné, et ne connait pas non plus la ou les méthodes préconisées par son prof.

:zen:

[adrien69]

Je ne suis pas vraiment de cet avis mais c'est surtout pour des raisons de fainéantise :
Par exemple si tu prends f(x)=exp(-1/x²), avec ta méthode tu dois justifier que f se prolonge en une fonction indéfiniment différentiable en 0, puis prouver que f admet un développement limité à tout ordre et que ce développement coïncide avec celui de son prolongement. La flemme quoi.
Autre exemple : sa question 3), je ne vois absolument pas comment ne pas faire d'erreur en utilisant Taylor-Young.

[Black Jack]

Je ne suis pas vraiment de cet avis mais c'est surtout pour des raisons de fainéantise :
Par exemple si tu prends f(x)=exp(-1/x²), avec ta méthode tu dois justifier que f se prolonge en une fonction indéfiniment différentiable en 0, puis prouver que f admet un développement limité à tout ordre et que ce développement coïncide avec celui de son prolongement. La flemme quoi.
Autre exemple : sa question 3), je ne vois absolument pas comment ne pas faire d'erreur en utilisant Taylor-Young.

Pour la 3, en vitesse, j'ai trouvé :
f(0) = 1
f'(0) = 3/2
f''(0) = -27/4
f'''(0) = 459/8

Bien possible que je me suis trompé.
Evidemment, il faut être attentif en dérivant. (un peu plus qu'en le faisant en vitesse).

Mais je ne sais toujours pas quelle méthode est préconisée par le prof.


:zen:

[adrien69]

Vu la gueule du DL que j'ai, c'est ça.
Mais on m'a toujours appris (mon expérience personnelle comprise) qu'il valait mieux procéder dans l'autre sens en pratique : utiliser le DL pour trouver les dérivées en certains points.

[Doraki]

Moi je veux voir la méthode de BlackJack pour un DL à l'ordre 3 de argcosh(x sin x) en 0

[Polytop]

racine de (1+3t) = 1 + (3/2)t - (9/8)t^2 + (27/16)t^3 + o(t^3) (I°)
Soit a(x) = (1/3)ln(1 + 3x)
On a a(x) ~ x au voisinage de 0.
Remplaçons t par a(x) dans le développement (I°)
A cause de l'équivalence, on peut remplacer t par x et on a le développement cherché.

[adrien69]

racine de (1+3t) = 1 + (3/2)t - (9/8)t^2 + (27/16)t^3 + o(t^3) (I°)
Soit a(x) = (1/3)ln(1 + 3x)
On a a(x) ~ x au voisinage de 0.
Remplaçons t par a(x) dans le développement (I°)
A cause de l'équivalence, on peut remplacer t par x et on a le développement cherché.

Complètement faux. Aussi bien du point de vue du résultat que du raisonnement. ON NE COMPOSE PAS LES ÉQUIVALENTS !

[Polytop]

Complètement faux. Aussi bien du point de vue du résultat que du raisonnement. ON NE COMPOSE PAS LES ÉQUIVALENTS !

En général non, vous avez raison.
Mais pour les fonctions équivalentes à la variable, on peut.
Ce qui nécessite une démonstration.

[adrien69]

Non on ne peut pas.
Démonstration par contre-exemple : ton développement limité est faux. CQFD.

[jlb]

Moi je veux voir la méthode de BlackJack pour un DL à l'ordre 3 de argcosh(x sin x) en 0

ça existe ce truc?

[Polytop]

Non on ne peut pas.
Démonstration par contre-exemple : ton développement limité est faux. CQFD.

Une erreur de calcul peut-être ... Quel est votre résultat ?
Sérieusement :
Considérons la relation d'ordre
(f = g) ou f = o(g)
On appelle "étalon de comparaison" une chaîne. C'est-à-dire une famille pour laquelle cet ordre est total.
On indicie de telle manière que cette famille soit décroissante.
Exemple fondamental : les x^n (N entier) au voisinage de 0.
On dit qu'une fonction f se développe selon l'étalon si elle est dominée par une fonction de l'étalon.
On va se contenter du cas ou f est équivalente, à un coefficient multiplicatif près, à une fonction de l'étalon, appelée alors "partie principale" (les autres cas sont ceux où on ne peut pas trouver de partie régulière non nulle, par ex. le célèbre (x^10)(sin[1/x]).)
Soit ai(x) et bi(x) deux étalons tels que ai(x) ~ bi(x) (i est un indice)
A cause de l'équivalence, f a pour chacun des étalons une partie principale de même coefficient et de même indice (un étalon ne contenant pas 2 fonctions équivalentes)
Si on peut continuer le développement on continue. On cherche à développer f(x) - ai(x) sur l'étalon ai. Si c'est possible, ce sera aussi possible sur l'étalon bi avec le même coefficient, etc.
Remarquer que les ai et les bi ont les mêmes ensembles de petit o puisqu'ils sont équivalents.
Dans l'exemple, j'ai pris pour étalon les puissances de x et les puissance de l'équivalent (1/3)ln(1 + 3x) mais j'ai peut-être fait une erreur de calcul

[adrien69]

1+(3 x)/2-(27 x^2)/8+(153 x^3)/16+o(x^3), en développant le logarithme à l'ordre 3 puis en composant par le DL de la racine carrée. J'ai le même résultat que BlackJack qui a utilisé Taylor-Young, et que deux logiciels de calcul formel (mathematica et maple) qui ont utilisé ce qui leur fait plaisir.

[Polytop]

Je vais chercher un moyen de calcul. A la main, je risque trop 'erreur

[Bisounours2013]

Bonjour,

Merci les gars pour votre aide, notre prof utilise la méthode de Black =) je viens de capté celle ci.

[Bisounours2013]

Pouvez vous me corriger pour la deuxième :

f'(x) = (6/(sin(2x)+1)^4)*cos(2x)
f''(x) = [(-12/(sin(2x)+1)^4)*cos2x]-[(48/(sin(2x)+1)*cos²(2x)]
f'''(x) = [(192/(sin2x+1))cos2xsin2x]+[(96/(sin2x+1)²cos^32x]+[(96cos2x/(sin2x+1)^5)cos2x]

f(0)=-1
f'(0)=6
f''(0)=-48
f"'(0)=192

f(x)=1+6*x/1-48*x²/2+192x^3/3+ox^3

[Bisounours2013]

adrien69 : comment on peut avoir les logiciel mathematica & mapel please