Développements limités, équivalents..

[Jonny]

Bonjour, j'ai deux questions à vous poser concernant les développements limités :

Quand j'ai un développement limité, quel terme je prends pour avoir un équivalent ?
J'ai lu qu'il fallait prendre le terme le plus significatif, par exemple en 0 celui de plus petit degré, et en l'infini celui de plus grand degré, mais le deuxième cas ne dépend il pas de l'ordre auquel j'ai effectué mon dl ? Et quel terme prendre pour un DL effectué en 58 ?

Ma deuxième question concerne la sommation. On a pas le droit de sommer des équivalents, mais les dl si.
Ce qui veut dire que si je dois par exemple trouver un équivalent de f+g, je fais d'abord la sommation des dl, et après je prends l'équivalent ? Qu'est ce qui fait que prendre d'abord l'équivalent, puis sommer, ne marche pas ?

Merci d'avance.

[Ericovitchi]

Prendre le (ou les) termes de plus bas degré pour avoir un dev. limité en zéro, OK mais pour + l'infini non on ne prends pas les termes de plus haut degré. Il faut refaire un développement limité en 1/x (ou poser X=1/x) dans la fonction d'origine et refaire un DL

Idem pour n'importe quel point. il faut faire un DL qui a des termes en (x-a), (x-a)², etc... (et prendre les termes de plus bas degré.

Pour ta deuxième question, les DL sont linéaires donc c'est pareil de les sommer avant ou après

[dudumath]

Bonjour, j'ai deux questions à vous poser concernant les développements limités :

Quand j'ai un développement limité, quel terme je prends pour avoir un équivalent ?
J'ai lu qu'il fallait prendre le terme le plus significatif, par exemple en 0 celui de plus petit degré, et en l'infini celui de plus grand degré, mais le deuxième cas ne dépend il pas de l'ordre auquel j'ai effectué mon dl ? Et quel terme prendre pour un DL effectué en 58 ?

j'aurais dit la même chose, pour le DL je ne pense pas que ça change grand chose que ce soit en 58 ou en 0

Ma deuxième question concerne la sommation. On a pas le droit de sommer des équivalents, mais les dl si.
Ce qui veut dire que si je dois par exemple trouver un équivalent de f+g, je fais d'abord la sommation des dl, et après je prends l'équivalent ? Qu'est ce qui fait que prendre d'abord l'équivalent, puis sommer, ne marche pas ?

Dans pas mal de cas ça marche, mais certains termes du DL peuvent s'annuler par exemple:

f=x+x²+O(x^3) ~ x
g=-x+x²+O(x^3) ~ -x

f+g=2x²+O(x^3)

[Doraki]

Soit f(x) = x+1, ~ x en l'infini
Soit g(x) = -x, ~ -x en l'infini
f(x)+g(x) = 1, ~ 1 en l'infini
x-x = 0.
1 =/= 0.

[Jonny]

Merci, quand vous dites les termes de plus bas degré, ca comprend les constantes ?

Une dernière chose enfin, comment par exemple avoir un équivalent de x-sin(x) en + l'infini.
Voilà ce que je fais.

DL(0) de sin(1/x)=1/x - 1/(6x^3 ) +o(1/x^3)

Après sommation, 1/x-sin(1/x) est équivalent en 0 à 1/6x^3

Donc en +l'infini x-sin(x) est équivalent à x^3/6.

Autrement dit c'est le même équivalent en 0 et en l'infini. Pourquoi je n'ai pas le droit de prendre l'équivalent en 0 et dire que c'est le même directement ?

[Ericovitchi]

Horrible horrible tout ça !! Comment passes tu d'un équivalent de sin(1/x) à celui de sin x ??? par sommation de quoi ?

non sin x n'ayant pas de limite pour x-> vers l'infini, sinx n'a pas d'équivalent

par compte comme il est borné par 1 et -1 on a x-sinx ~ x
(la preuve en est que (x-sin x) /x tends vers 1)

[Jonny]

Aie, désolé, mais je vois toujours pas mon erreur :
J'ai effectué par composition des DL en 1/x. Puis j'ai sommé ces DL. Jusque là j'ai le droit ? Enfin j'en ai pris un équivalent.


Enfin, voilà pourquoi je suis surpris de ta réponse. Dans mon cours, mon prof a prit un équivalent de (Un-sin(Un)) et c'est (Un^3)/6.

Bien sûr rien n'est expliqué dans le cours, les développements limités/équivalents semblent triviaux pour toute la classe. Mais bon, j'avais pas compris l'an dernier, j'ai toujours pas compris. Autant dire que je subis l'analyse pour l'instant.

EDIT: Pas si surpris que ça en fait, je viens de relire, Un tend vers 0 quand n tend vers +oo. Mais je comprends toujours pas la faille de ce que j'ai écrit au dessus

[Ericovitchi]

1/x-sin(1/x) est équivalent en 0 à 1/6x^3 ça c'est d'accord.

Et alors comment passes tu à x-sinx ?

Tu n'es pas en train de croire que 1/(1/x-sin(1/x)) = x-sin x j'espère ?
ni même que 1 / sin(1/x) = sin x !!!!!!! Tu prends la fonction sin pour une fonction linéaire !

[Jonny]

Je posais X=1/x, et je faisais la même procédure que pour changer un DL en 0 en DL en l'infini.
Quelle est l'erreur ?

(Pas d'histoire de sin linéaire quand même hein.. ^^)

[Ericovitchi]

Si tu poses X=1/x, X tend vers zéro et son équivalent est en zéro
En zéro x-sin x ~ x³/6 oui
mais tu avais demandé un équivalent pour x-sinx à l'infini par pour x = 0
Tu ne peux passer de l'un à l'autre.

[Jonny]

Si tu poses X=1/x, X tend vers zéro et son équivalent est en zéro

Là je comprends pas. Si j'avais un équivalent quand x->0, 1/x tend vers l'infini donc pour moi mon nouvel équivalent de X est en plus l'infini.

D'autre part, pourrais tu me donner la réponse à ma question au dessus : "Merci, quand vous dites les termes de plus bas degré, ca comprend les constantes ? "

Désolé de poser de telles questions mais tes indications m'aident beaucoup.

EDIT : Si en fait j'ai compris. Faut que j'arrête de penser X=1/x et que je raisonne bien en terme de composition de fonctions. Et là ca me donne des choses cohérentes.

J'ai toujours ma question sur les constantes, après j'arrête de t'embêter ^^

[Ericovitchi]

oui bien sûr les termes de plus bas degré ça comprends les constantes. Après tout une constante c'est un terme en , on ne peut pas faire plus bas.

[Jonny]

Ok, merci beaucoup :)

[Maxymyze]

Attention ! Si la partie régulière est nulle
c'est-à-dire si
f(x) = o(x^n)
f(x) n'est pas équivalent à la partie régulière (sauf si f(x) est localement nulle).
Remarque les fonctions localement nulles forment une classe d'équivalence à elles seules)
Si la partie régulière non nulle est ordonnée comme il faut (les termes sont écrits selon la croissance des n dans les o(x^n)) n'importe quelle section commençante de la partie régulière est équivalente à f.
Exemple :
sin(x) = x - (x^3/3) + (x^5/5) - (x^7/7) + o(x^7)
on a, par ex.,
sin(x) ~x
sin(x) ~x - (x^3/3)
sin(x) ~x - (x^3/3) + (x^5/5)
etc
(Ce que dessus est à adapter pour les développement autres que par rapport au puissances de x au voisinage de 0)

[Ben314]

Salut,
1) J'espère que celui qui a posé la question n'a pas attendu plus de 10 ans pour obtenir une réponse.
2)

. . . n'importe quelle section commençante de la partie régulière est équivalente à f.
sin(x) ~x - (x^3/3)

Ca, on peut pas dire que ce soit franchement faux, mais c'est pas futé du tout vu qu'au voisinage de 0, sinus(x) est équivalent à n'importe quelle fonction de la forme x->x +Cst.x^3, quel que soit la constante (ainsi qu'a toute celle de la forme x+Cst.x^2, toujours quel que soit la constante)
Et de façon plus générale, si f(x) est équivalent à g(x) alors il est aussi équivalent à g(x)+h(x) pour toute fonction h négligeable devant g : et si tu connais les définition "équivalent" et de "négligeable" (*) ben ce "fameux résultat", il dit juste que 1+0=1 . . .

(*) Et bien sûr, c'est pas con de connaitre la définition des mots qu'on emploie.

[tulipe]

Je pense qu'il pensait au degré des DL, justement dans les cas où il faut faire de l'arithmétique sur les DL.

[Maxymyze]

Gag : j'ai répondu sans avoir vu que le sujet avait 10 ans.
De plus, vous avez raison, la réponse est maladroite.
J'ai hésité à dire nuement que toute combinaison linéaire de termes de l'étalon est équivalente au plus grand terme y figurant pour la relation
f=g ou f=o(g)