Une marche alétoire en particulier

[egan]

Salut tout le monde,

Je continue à vous embêter avec mes histoires de marches aléatoires mais dans un cas particulier cette fois. ^^

Soit une suite de variables aléatoires iid de loi .
Je pose:



Je voudrais montrer que:



Pour cela, j'ai défini le temps d'arrêt .
J'ai montré que était une martingale pour les tribus naturelles des .
Enfin, j'ai montré que:



A partir de cette dernière égalité, on obtient:



Il me reste juste à justifier que



pour avoir fini.

Quelqu'un voit comment faire ? En passant à la limite sans trop réfléchir, on comprend bien que ça fait 0 mais ça ne paraît pas très rigoureux...

Merci d'avance.
@+ Boris.

[egan]

Personne ?

[Doraki]

Par la loi des grands nombres, on a P(Sn -> - l'infini) = 1.
Donc si tu appelles T(k,m) = inf {n >= 1 : Sn = k ou Sn = m} avec m << 0 <= n,
P(T(k,m) est fini) = 1.
Donc là tu peux appliquer la martingale :
1 = E[(q/p)^S(T(k,m))] = (q/p)^k * P(S(T(k,m))=k) + (q/p)^m * P(S(T(k,m))=m)

Lorsque m -> - l'infini, (q/p)^m tend vers 0, donc P(S(T(k,m))=k) tend vers (p/q)^k quand m tend vers - l'infini, ce qui est bien ce qu'on souhaite.

[egan]

Je t'ai suivi jusqu'à:



Mais je ne vois pas du tout comment en déduire que:



Serait-il possible que:



Si c'est ça, je ne comprends même pas pourquoi c'est vrai intuitivement. :triste:

[Doraki]

L'événement "la marche aléatoire atteint k" est la réunion dénombrable croissante des événements "la marche aléatoire atteint k avant d'atteindre m"

Pour une réalisation fixée de la marche aléatoire qui atteint k, il suffit de choisir m plus petit que tout ce que la marche aléatoire atteint avant de passer pour la 1ère fois sur k.

Et donc P("la marche aléatoire atteint k") = lim m -> -l'infini de P("la marche aléatoire atteint k avant d'atteindre m")

[egan]

Merci pour tes réponses.
Je trouve ça très joli comme méthode. ^^

[egan]

Je viens de me rendre compte que je suis passé un peu vite sur l'application du théorème d'arrêt.
T(k;m) n'est pas borné donc je suis allé chercher mon théorème d'arrêt pour des temps d'arrêt non borné.
La condition pour que ça marche ici, ce serait:



où Y est intégrable.

Je suis bloqué pour exhiber le Y.