Polynômes particulier sur un corps quelconque k

[chombier]

J'ai commencé à m'amuser, je finis.
Avec la technique de Zygomatique, cela donne :









J'ai du nuancer : j'ai précédemment écrit que : .

Comme k est quelconque, pour être plus précis, il faut écrire :

Les coefficients de sont : , et

[Pseuda]

Bonjour,

En fait, ma méthode marcherait quand même sur un corps k inclus dans C. On aboutit à la factorisation sur C de la fraction rationnelle avec et les racines de P(X) sur C. En développant, on obtient un polynôme en , de coefficients .

Par identification avec la forme développée de de coefficients , on obtient que , donc , , donc , , donc , etc... par récurrence finie jusqu'à n, les coefficients sont dans k. est donc bien de la forme polynôme de k[X].

Finalement cette méthode vaut l'autre au niveau de la complexité.

[chombier]

Je ne comprends toujours pas quel sens on peut donner à la factorisation sur C d'un polynôme dont les coefficients ne sont pas dans C

Dans Z/41Z,

Quelles sont les racines dans C de ce polynôme ?

[Pseuda]

Bien vu. Cela ne marcherait que pour un corps k inclus dans C. Je rectifie.

[chombier]

Et cela pose le problème de factoriser dans C
Je me place dans Z :
Ben factoriser dans C, heu...

En revanche :



or; comme, en posant

,





, avec

[Pseuda]

Bonsoir,

Supposons d'après ton exemple, que et que est unitaire. D'après la question 1, comme on est dans C (scindé) :

, avec .

On n'a pas besoin de calculer les racines.

donc

En développant, on a un polynôme en , de coefficients :



Par ailleurs : avec .

Par identification, on obtient : (coefficient de ), (coefficient de ), , donc , donc .

Au final, , avec , donc le même polynôme que celui que tu trouves. Mais j'ai supposé que k était un sous-corps de C.