Exercice Martingale définie à partir d'une marche aléatoire

[atoutva]

Bonsoir,

Je suis bloquée sur une question d'exercice probablement ridiculement facile à résoudre, mais voilà, je n'arrive à rien, et ne fais que revenir sur mes pas.

On me donne Yn marche aléatoire sur Z, P(Yn=1)=p, P(Yn=-1)=q, avec 1>q>p>0
Et Xn somme des Yk
et Zn= (q/p)^Xn

et Tk=inf (n avec Xn>=k)

Je dois prouver que

P(Tk est fini) = (p/q)^k

Je sais que Zn est une martingale positive, et que Xn-->-l'infini ps, et on me donne l'indication

"utiliser le fait que Z indice inf(n, Tk) est une martingale et que
Z indice inf(n, Tk) = Z indice inf(n, Tk) indicatrice (Tk fini) + Z indice inf(n, Tk) indicatrice (Tk infini)"


Et donc, j'essaie, j'essaie, mais à force de prendre des espérances conditionnelles à tout, j'arrive à des évidences absolument pas constructives.

Une idée?

Merci d'avance, et aussi je m'excuse pour l'écriture littérale des expressions (en particulier ce "Z indice inf(n, Tk)" ), je ne suis pas très familière des mathématiques autrement que sur papier.

[atoutva]

Je présume que... ça veut dire que c'est difficile?

[atoutva]

personne?

c'est difficile alors, peut-être?

[Doraki]

Est-ce que tu as montré que Z_inf(n,Tk) est une martingale, et que P(Tk est infini) vaut 0 ?

[atoutva]

Est-ce que tu as montré que Z_inf(n,Tk) est une martingale, et que P(Tk est infini) vaut 0 ?

Alors oui, c'est une martingale par un théorème du cours, et P(Tk est infini) ne vaut sûrement pas 0 si on doit prouver que P(Tk est fini) vaut quelque chose de différent de 1...

[Doraki]

Ah oui mince, je pensais à autre chose.

Si tu sais que Z_(inf(n, Tk)) est une martingale, tu fais comme te le suggère l'énoncé

Pour tout n, E(Z_(inf(n,Tk))) vaut quelle constante réelle ?

Tu peux simplifier l'inf dans E(Z_inf(n,Tk) * indicatrice de(Tk infini)) ?

Quand n tend vers l'infini, Z_n tend presque surement vers quoi ?