Polynômes particulier sur un corps quelconque k

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Bonjour à tous,

J'ai entamé le MOOC de l'ENS sur les groupes de Gallois et je bloque sur l'exercice 3 de cette fiche : https://d396qusza40orc.cloudfront.net/introgalois%2Fexos%2FEx1.pdf

J'ai réussi à répondre à la question 1 en prouvant que, si est non nul, alors

Pour la question 2, on entre dans le domaine des fractions rationnelles. Alors je vois bien que si est une racine de P, alors est une racine de Q mais à part ça...

D'autant que n'ayant aucune information sur le corps k, on n'a aucune information sur le nombre de racines de P, si ce n'est qu'il est inférieur à 2n et que c'est un nombre pair...

Des idées ? Un petit coup de pouce ne serait pas de refus !

[zygomatique]

salut



développer par récurrence

...

[chombier]

salut



développer par récurrence

...

Alors en effet,

Pour la suite,



Je ne vois pas. Du coup j'ai essayé autre chose, mais ça me parait un peu compliqué, je suis sur qu'il y a plus simple...

Comme deg(Q)=n, on peut poser . Ainsi,



En regroupant les termes , j'espérais procéder par identifications, ce qui me ferait un système de n+1 inconnues et 2n équations.

[zygomatique]

je t'ai dit de calculer par récurrence !!!

donc commence par calculer pour k = 1, 2, 3 ... pour regarder et voir ... une expression de

...

[chombier]

Oui enfin calculer par récurrence ça ne veux rien dire en même temps
Enfin, je tente ta méthode...

[chombier]

C'est moche quand même je trouve. J'essaie de généraliser mais je suis pas chaud chaud j'avoue !




C'est super technique et j'ai du mal à voir quoi faire de ça...

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Bon j'ai pas avancé...

[zygomatique]

ce qui importe c'est donc de montrer que pour un certain polynome Q_k

donc toute combinaison linéaire des pour k variant de 0 à n est combinaison linéaire des polynomes Q_k

et on a donc la réponse ...

[Pseuda]

Bonsoir,

Tiens cela me donne l'idée de m'inscrire à ce cours (cela m'a toujours intriguée). Merci pour l'info. Pour le problème présenté, j'entrevois 2 autres solutions :

- calculer P(i)/i^n, cela donne le terme constant de Q, mais bof, cela s'arrête là apparemment ou cela devient compliqué,

- utiliser la 1ère question, et retranscrire que les racines de P sont de la forme et par une factorisation du polynôme sur C, et diviser P par X^n : cela fonctionne très simplement.

[chombier]

Bonsoir,

Tiens cela me donne l'idée de m'inscrire à ce cours (cela m'a toujours intriguée). Merci pour l'info. Pour le problème présenté, j'entrevois 2 autres solutions :

- calculer P(i)/i^n, cela donne le terme constant de Q, mais bof, cela s'arrête là apparemment ou cela devient compliqué,

- utiliser la 1ère question, et retranscrire que les racines de P sont de la forme et par une factorisation du polynôme sur C, et diviser P par X^n : cela fonctionne très simplement.

J'ai pensé à factoriser sur C, mais ce n'est pas possible : on ne sait rien sur le corps k, rien ne prouve que c'est un cous-corps de C (Q ou R)

[chombier]

ce qui importe c'est donc de montrer que pour un certain polynome Q_k

donc toute combinaison linéaire des pour k variant de 0 à n est combinaison linéaire des polynomes Q_k

et on a donc la réponse ...

Ok, j'y travaille

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Oui enfin calculer par récurrence ça ne veux rien dire en même temps
Enfin, je tente ta méthode...

En posant







Avec un beau raisonnement par récurrence (ou un raisonnement sur l'espace vectoriel des polynomes, où l'on sait qu'e famille de polynomes de degré 1, 2, 3, ... est une famille génératrice), on peut donc prouver que, pour tout n, il existe un polynome Q_n tel que (X+X^-1)^n = Q_n(X+X^-1)

Et comme

Donc en posant , on arrive au résultat escompté.

C'est pas hyper propre mais c'est relativement convainquant ! Merci zygo !!

[zygomatique]

si alors



donc est évidemment un polynome ...

[chombier]

Magie !

[zygomatique]

Magie !

non récurrence !!!

[Pseuda]

J'ai pensé à factoriser sur C, mais ce n'est pas possible : on ne sait rien sur le corps k, rien ne prouve que c'est un cous-corps de C (Q ou R)

Bonsoir,

Une fois qu'on a obtenu une factorisation du polynôme (ou de la fraction rationnelle), que l'on soit sur C ou sur n'importe quel corps n'a aucune importance ?

[chombier]

Dans , par exemple, je ne suis pas sur que ça ait beaucoup de sens qu'on puisse factoriser dans C.

[Pseuda]

J'ai oublié : et que ses racines appartiennent au corps k, ce qui est le cas ici ( appartient à k).

[chombier]

Donne un exemple, parce que là je ne vois pas du tout.

Dans Z/41Z,

[Pseuda]

Non en effet, ma solution ne va pas car k est quelconque, même si k est un sous-corps de C d'ailleurs.