Partie fermé dans espace fonction continue et bornée

[Mysterion]

Salut,

Dans l'ensemble des fonction de IR dans IR continue et bornée, munie de la norme infinie , j'essaye de savoir si le sous ensemble est un fermé.

Je vois deux options :

1. l'image réciproque d'un fermé d'une application continue est un fermé. Mais pour qu'elle application continue de E vers...?

2. Ou je montre que l'adhérence de F c'est F lui même. Et que pour tout f de E limite d'une suite de F,
k(f) est fini. Mais avec j'avance pas.

[DamX]

[quote="Mysterion"]Salut,

Dans l'ensemble des fonction de IR dans IR continue et bornée, munie de la norme infinie , j'essaye de savoir si le sous ensemble [TEX]F=\{ f \in E | \, k(f)=sup_{(x,y)} \frac{|f(x)-f(y)|}{|x-y|} 1/n.

fn est bien continue et bornée.
Et tu as évidemment k(f) = n, la fonction limite (un créneau) n'est pas vraiment dans l'ensemble..

Damien

[Doraki]

Si tu veux montrer qu'il n'est pas fermé il vaut mieux choisir une suite qui converge dans E mais dont la limite n'est pas dans F (qui fait des pentes arbitrairement grandes).

Par exemple fn(x) = sin(e^x)/x pour x entre ln(pi) et ln(n*pi), et 0 ailleurs, est dans F.
Cette suite converge dans E vers la fonction f(x) = sin(e^x)/x pour x >= ln(pi) et 0 ailleurs, qui n'est pas dans F.

[DamX]

Si tu veux montrer qu'il n'est pas fermé il vaut mieux choisir une suite qui converge dans E mais dont la limite n'est pas dans F (qui fait des pentes arbitrairement grandes).

Par exemple fn(x) = sin(e^x)/x pour x entre ln(pi) et ln(n*pi), et 0 ailleurs, est dans F.
Cette suite converge dans E vers la fonction f(x) = sin(e^x)/x pour x >= ln(pi) et 0 ailleurs, qui n'est pas dans F.

Oui en effet, en voulant trop simplifier, ma suite de fonctions ne convergeait pas dans E (et ne convergeait en fait Meme pas vers le créneau au sens de la norme infinie). L'idée était bien de rechercher une pente qui part à l'infini. Ton exemple est mieux.

Damien

[Mysterion]

merci pour vos réponses.

En fait le problème était plus simple que ça, j'ai manqué quelques éléments. En fait F n'est pas muni de la norme infinie mais d'une autre norme spécifique, et qui rend l'espace F complet. On a donc un espace complet inclus dans un espace complet. Donc F est fermé.

Cependant j'aimerais bien savoir d'où provient cette propriété sur les ouverts:

Si tu veux montrer qu'il n'est pas fermé il vaut mieux choisir une suite qui converge dans E mais dont la limite n'est pas dans F

[Doraki]

c'est la définition de ne pas être fermé dans un espace métrique E.

La limite de cette suite est point de F et tu n'as pas de voisinage de ce point qui n'intersecte pas E puisque tu as une suite de E qui converge vers F. Donc ce point n'est pas dans l'intérieur de E\F, donc E\F n'est pas ouvert donc F n'est pas fermé. (et ce sont des équivalences faciles partout)

[Mysterion]

c'est la définition de ne pas être fermé dans un espace métrique E.

La limite de cette suite est point de F et tu n'as pas de voisinage de ce point qui n'intersecte pas E puisque tu as une suite de E qui converge vers F. Donc ce point n'est pas dans l'intérieur de E\F, donc E\F n'est pas ouvert donc F n'est pas fermé. (et ce sont des équivalences faciles partout)

Ok, merci bien