Polynomes verifiant P'/P

[dilzydils]

Bonjour

Soit E={polynomes de C[X]verifiant P'/P}.
Il est clair que les polynomes proportionnels à (X-a)^n sont dans E.
Comment montrer que tt polynome dans E est de cette forme?

Merci

[Chimomo]

Attention ce seront les polynômes de la forme k(x-a)^n (ne pas oublier la constante).

Qu'as tu fait pour lemoment ? Quelles pistes as-tu explorées ?

[tize]

Une petite récurrence en supposant la propriété vraie pour tous les polynomes de degré inférieur à puis montre que si alors .

[aviateurpilot]

je ne connais pas ce C[X]
mais si polynomes de C[X] sont les meme plynomes que j'ai vu en terminal
et si p'/p : p(x)=q(x)p'(x)
alors voila tt ce que je peux faire pour toi




si on pendre p(x)=q(x)p'(x)
alors on trouve que pour k de {0,1,2,...,n-1}

et donc b=1/n

donc


donc
et puisque sont des valeur fixes qui ne varie pas.
alors s'ecrit ous la forme
et puisque kp(x) est aussi une solution quelque soit k
alors

[tize]

Un peu plus simple : si alors et en dérivant à nouveau on trouve et donc et par récurrence et il n'y a plus qu'à vérifier que

En espérant ne pas avoir dit trop de bêtise.