Application vérifiant une condition

[ready]

bonjour, voici mon problème:
Soit une application vérifiant
(x,y)R², f(x+y)*f(x-y)=[f(x)*f(y)]²
j'ai dèja prouvé que:
1) f(0)=0 ou +-1
2) f(0)=0 <=> f=fonction cte nulle

on suppose maintenant que f s'annule pour une valeur a:
et on définit la suite Un= a/ 2^n
Il faut calculer f(un) pour n>0 et en déduire la valeur de f(0).
Apparemment il faudrait poser x=y=Un

On obtient ainsi:
f(2.Un)*f(0)=f(Un)^4
f(2.a/ 2^n)*f(0)=f(Un)^4
f(Un-1)*f(0)=f(Un)^4

Finalement f(Un)= [ f(Un-1)*f(0) ]^(1/4)

Ensuite sachant que Un->0 et que f est continue
Par passage a la limite, on a
f(0)*f(0)=f(0)^4
f(0)=+-1
Je trouve donc deux valeurs, est ce normal ?

Merci d'avance.

[fahr451]

bonsoir

u(0) = a et par hypothèse f(a) = 0 la relation entre f(u(n) ) et f(u(n-1)) prouve que pour tout n f (u(n) ) = 0 or u(n) ->0 et par continuité f(0) = 0

et d 'après la question précédente f = 0