Défi-lycée : un pas vers la géométrie complexe (TS)

[Kikoo <3 Bieber]

On a A, B et C trois points du plan Euclidien, associé au plan d'Argand-Cauchy.
Soient leurs affixes respectives a, b et c. On a
Montrer que "ABC équilatéral" est équivalent à

Bonne chance, vous en aurez besoin.

[benekire2]

Pour ceux qui comme moi ne connaissent pas le Plan d'Argand-Cauchy, il s'agit simplement du plan complexe usuel, le plan quoi.

Je vais proposer aux élèves de terminale (car tous ceux d'un niveau supérieur connaissent cette méthode) une méthode polynomiale et naturelle une fois qu'on est habitué aux arguments polynomiaux, donc pas de magie, désolé :lol3:

Volontairement je laisse des choses à faire, parce que d'une part j'ai la flemme et d'autre part c'est des choses à faire seul :

Le triangle abc est équilatéral si et seulement si (Pourquoi ?) donc si et seulement si a,b et c sont racine d'un polynôme de la forme .

Prenons le polynôme unitaire qui annule a,b et c.
Il s'écrit :

Il faut noter que ce développement est crucial de partout, il s'agit des relations coefficients-racine, on observe que les coefficients du polynôme sont symétrique en les racines du polynôme.

Maintenant il s'agit de trouver les coefficients du polynôme, déjà le coefficient abc n'est pas important puisque on veut un polynôme de la forme .

C'est là qu'intervient une chose simple mais souvent importante : comme a,b,c sont sur le cercle unité on a par exemple et donc

On peut donc écrire :


Finalement les coefficients de et sont nuls ssi donc le triangle est équilatéral ssi .

Pour vérifier qu'on a bien compris ces arguments je propose un mini exercice :

Soient a,b,c de module 1 et on suppose que . Montrer que l'un des trois complexe vaut 1.

[Kikoo <3 Bieber]

Ah tu y vas par équivalences successives, Benekire ?

Moi je ferais d'abord le sens direct, qui est facile si l'on se place dans un repère adapté, puis le sens indirect qui est bien calculatoire.

[benekire2]

Oui, par équivalences successives dans l'idée. Après j'avoue ne pas avoir pris le soin de vérifier tout, mais dans le pire des cas le faire dans les deux sens une fois qu'on a écrit ça est simple : tout est écrit sur le polynôme.

[Kikoo <3 Bieber]

J'ai une méthode plus élémentaire qui ne nécessite pas de passer par les polynômes.

Sens direct : utiliser les propriétés géométriques d'un triangle équilatéral.
Sens indirect : Trouver les arguments de b et de c. On concluera grâce à l'hypothèse des modules égaux.
Mais il y a aussi un sous-exercice caché dans cette démonstration que je vais donner en indice :

Montrer qu'un triangle équilatéral ABC vérifie avec ses affixes l'égalité suivante :
avec

Mais ta façon de faire est plus originale !

[benekire2]

Disons simplement que c'est une méthode qui se réinvesti. Ce n'est pas par hasard que les polynômes sont ici, on fait de la géométrie, et beaucoup de choses y sont polynomiales. D'autre part les polynômes sont un outil puissant en général.

Après comme de partout il y a souvent les méthodes "à la main", qui fonctionnent très bien, mais plus difficiles à trouver et qui font usage de magie à certains moments (je ne prétend pas que ta solution soit magique), ma solution ne ma rien coûté en réflexion.

[Kikoo <3 Bieber]

Si, il y a quand même quelque chose de magique, comme le sous-exo que j'ai révélé précédemment ^^
On peut se débrouiller sans lui, mais c'est très difficile !

Je vais regarder ta méthode polynômiale Je suppose que le vient de la propriété des racines troisièmes de l'unité !

PS : je pense avoir eu tort de donner cet exo maintenant. Les élèves n'ont pour l'instant pas tous encore vu les nombres complexes ainsi que leurs applications.

[benekire2]

Ouais la magie c'est très mal. C'est toi le magicien ?

Pour l'égalité des cubes, oui ça vient des racines troisièmes de l'unité. Et pour le PS. osef les profs traitent le programme dans le sens qu'ils veulent donc au pire ça servira plus tard. Si tu ne connais pas la méthode polynomiale je t'encourage à la comprendre, puis a faire le petit exo de la faim.

[Kikoo <3 Bieber]

Non, le magicien c'est mon colleur :) Un jeune homme très gentil.

:p Je ferai le reste avec plaisir mon Benekire.

[benekire2]

Non, le magicien c'est mon colleur Un jeune homme très gentil.

:p Je ferai le reste avec plaisir mon Benekire.

Arf c'est vil les colleur magiciens, j'ai horreur de ça, il se trouve qu'il existe aussi des colleurs qui reproduisent des tours de magie qu'eux même ne comprennent pas, et ça c'est pire que tout !! Alors uqe souvent il existe des méthodes "naturelles" i.e avec des méthodes et sans astuces.

Je te laisse réfléchir à l'exercice, il ne devrait pas te résister longtemps. En fait il doit être quasi immédiat avec ce que je t'ai dit !

[Matt_01]

Le triangle abc est équilatéral si et seulement si

D'où ca sort ?
C'est faux dans le cas général, donc tu utilises déjà l'hypothèse de normes égales.
En fait faudrait savoir d'où on part pour la définition de l'équitéral, celle avec les angles permet rapidement d'établir tes égalités, mais c'est moins évident avec les distances.

[Kikoo <3 Bieber]

D'où ca sort ?
C'est faux dans le cas général, donc tu utilises déjà l'hypothèse de normes égales.
En fait faudrait savoir d'où on part pour la définition de l'équitéral, celle avec les angles permet rapidement d'établir tes égalités, mais c'est moins évident avec les distances.

On place A en le point d'affixe a=1, par exemple (ce n'est pas nécessaire).
Mais il est vrai qu'on utilise d'emblée l'hypothèse des modules égaux et que tout ceci caractérise un triangle équilatéral.

Les racines troisièmes de l'unité sont telles que l'argument de leur cube est congru à 0 modulo 2 pi.

[Nightmare]

au plan d'Argand-Cauchy.

Cette appellation n'est pas du tout utilisée, il faudrait la bannir de ton vocabulaire à moins que tu veuilles perdre tout le monde pour rien dans un énoncé.

Concernant le problème, un résultat simple permet de l'expédier : Un triangle est équilatéral si et ssi ses centres de gravité et de cercle circonscrit sont confondus.

Du coup, si ABC est équilatéral, a+b+c/3 qui désigne l'affixe du centre de gravité est le centre du cercle passant par A, B et C ie 0.

Réciproquement si a+b+c=0 alors le centre de gravité et du cercle circonscrit sont confondus donc le triangle est équilatéral.

Evidemment, il y un tout petit "truandage" dans cette démonstration...

[Kikoo <3 Bieber]

Ah ? J'ai toujours utilisé "plan d'Argand Cauchy" quand je parlais du plan auquel on effectue la bijection point-affixe. C'est ainsi qu'il m'a été présenté dans mon cours de l'année dernière et tout. Mais bon, si le terme n'est pas usité, je ne l'utiliserai plus.

Ouaip, le sens direct exploite le fait que OG=(OA+OB+OC)/3 et que si G est confondu avec le centre du repère d'affixe 0, alors on remplace OA, OB et OC par leurs affixes et cela donne bien (a+b+c)/3=0 d'où a+b+c=0

Et le truandage fait l'objet du mini-exo que j'ai donné :)

[benekire2]

Matt >> Oui on a supposé dans l'énoncé que les points sont sur le cercle unité, donc c'est vrai. Comme définition de l'équilatéral je prend les angles.

[Matt_01]

Oui oui. Comment arrives tu alors à l'égalité ? J'ai rien d'ultra rapide, encore moins avec les angles en fait. Tout du moins pas assez je trouve pour le balancer comme ca ^^

[Nightmare]

Et le truandage fait l'objet du mini-exo que j'ai donné

C'est à dire? Je ne comprends pas.

[Kikoo <3 Bieber]

Par truandage tu supposes magie/trucage non ?
Parce que moi je passe par les angles, et pour ce faire, j'ai besoin de deux équations (système).
Or l'exercice ne m'en fournit qu'une seule. Le "sous-exo" que j'ai donné en offre une autre.

[Nightmare]

Par truandage tu supposes magie/trucage non ?

Euh alors là je comprends encore moins :ptdr:

Quand je parle de truandage, c'est surtout que le résultat que je suppose évident, à savoir qu'un triangle dont les centres de gravité et du cercle circonscrit sont confondus est équilatéral, revient plus ou moins à notre exercice.

[Anonyme]

Oooh il y a du favoritisme pour les S Kikoo !! :triste:

T'aurais pu mettre un exercice accessible à toutes les terminales hein... C'est moi que tu voulais éviter ? :P