Défi-lycée

par **Kikoo <3 Bieber** » 15 Juil 2013, 16:39

Salut,

Un petit défi qui tient en une ligne, assez facile mais nécessite d'être bien formulé pour qu'on arrive à son issue :

[CENTER]Soit n strictement positif, k est le nombre de ses diviseurs premiers.
Montrer que [/CENTER]

par **adrien69** » 15 Juil 2013, 17:01

Comptés avec ou sans multiplicité ? :ruse:

par **Kikoo <3 Bieber** » 15 Juil 2013, 17:40

adrien69 a écrit:Comptés avec ou sans multiplicité ? :ruse:

Sans multiplicité. C'est là l'enjeu :p

par **adrien69** » 15 Juil 2013, 17:46

Tiens ! Étonnamment j'aurais dit le contraire.

par **Kikoo <3 Bieber** » 15 Juil 2013, 17:56

Ben des nombres premiers comptés avec multiplicité ne sont plus des nombres premiers... '_'

par **chan79** » 15 Juil 2013, 20:03

Salut
On décompose n en produit de facteurs premiers

les

sont supérieurs ou égaux à 2
les

sont supérieurs ou égaux à 1

donc

par **Kikoo <3 Bieber** » 15 Juil 2013, 20:06

Voilà ci tout simple ! :)

Plus dur alors : "Peut-on placer 1975 points sur le cercle unité dont les distances
deux à deux sont toutes rationnelles ?"

par **adrien69** » 15 Juil 2013, 20:44

La multiplicité c'est les pi qui interviennent dans la décomposition de Chan

c'est en fait le nombre de fois que le nombre premier apparait dans la décompo en facteurs premiers. Sa puissance quoi.
Donc on avait mieux :

par **adrien69** » 15 Juil 2013, 20:48

Kikoo <3 Bieber a écrit:Voilà ci tout simple !

Plus dur alors : "Peut-on placer 1975 points sur le cercle unité dont les distances
deux à deux sont toutes rationnelles ?"

Distincts ou pas tes points ? :ruse:

par **Kikoo <3 Bieber** » 15 Juil 2013, 20:53

Bien sûr que oui, allez je rajoute que nous travaillons dans Q*, petit chipoteur ! ^^

par **adrien69** » 15 Juil 2013, 20:53

Dans les deux cas la réponse est oui de toute façon :p

par **Kikoo <3 Bieber** » 15 Juil 2013, 20:53

adrien69 a écrit:La multiplicité c'est les pi qui interviennent dans la décomposition de Chan c'est en fait le nombre de fois que le nombre premier apparait dans la décompo en facteurs premiers. Sa puissance quoi.
Donc on avait mieux :

Oui mais le but c'est de répondre à l'exo et pas d'en faire à ta tête :p

par **Kikoo <3 Bieber** » 15 Juil 2013, 20:54

adrien69 a écrit:Dans les deux cas la réponse est oui de toute façon :p

Montre-le nous !

par **adrien69** » 15 Juil 2013, 21:14

En soit je ne pense même pas que 1975 intervienne...
Si tu prends deux points A et B sur le cercle unité, et que tu appelles c leur angle (orienté ou pas on s'en fout), la distance entre les points est 2*|sin(c/2)|
On prend un nombre a tel que tan(a) est rationnel et 2*pi*a est irrationnel (ex : a=tan^{-1}(1/2) ça devrait marcher).
On place

comme on veut prend alors une suite équirépartie

tels que l'angle entre

et

vaille 4*i*a.
On a alors la distance entre Ai et Aj qui vaut d'après ce que j'ai dit au début 2|sin(2(i-j)a)|=2|tan((i-j)a)/(1+tan((i-j)a)²)| et comme tan(d+b)=(tan(d)+tan(b))/(1-tan(d)tan(b)), le fait que tan(a) soit rationnel suffisait à tous les avoir rationnels (et on se fout de 1975, on peut en avoir autant qu'on veut du moment que a et pi sont incommensurables)

par **Kikoo <3 Bieber** » 16 Juil 2013, 10:28

Oui, ça convient !

par **adrien69** » 16 Juil 2013, 10:38

Petit défi pour toi Kikoo.
Montre que a est irrationnel (donc 2pi*a incommensurable avec pi) si et seulement si

par **Kikoo <3 Bieber** » 16 Juil 2013, 11:08

Ah ok t'avais changé la formule :p
Je regarde...

PS : Il n'y a pas un problème ? Si on calcule ce truc pour n'importe quel a, on se retrouve avec du 0 au dénominateur, non ?

par **adrien69** » 16 Juil 2013, 11:26

0 au dénominateur ? What ?

par **adrien69** » 16 Juil 2013, 11:32

Ah oui, tu te la joues série géométrique là ?

par **Kikoo <3 Bieber** » 16 Juil 2013, 11:33

adrien69 a écrit:0 au dénominateur ? What ?

Ben

adrien69 a écrit:Ah oui, tu te la joues série géométrique là ?

Oui c'est ça.

Je sais pas si c'est fut-fut, mais j'aimerais d'abord trouver un critère de convergence si a est irrationnel.
Ca demande des notions sur les séries ?

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