Défi lycée n+1 : Alexandrie... Alexandra !

[Kikoo <3 Bieber]

Soit x>0 un nombre rationnel. Montrer qu'il existe n entiers positifs distincts tels que


D'après mes sources, il proviendrait d'un oral d'admission à l'ENS Ulm, mais serait faisable par un élève de seconde !
Ceci dit, bonne chance ! J'en ai bavé.

[Lostounet]

Yo,
La somme de rationnels peut-elle être irrationnelle?

[Matt_01]

Salut !


Je suppose que (car ce qui assure que les sont distincts.

Comment passer pour x>1 ?
La série harmonique étant divergente, on a un rang maximal tel que H_n x > H_n[/TEX]
Donc[TEX] 0 n) sur x-H_n et de dire que x = H_n + x - H_n.


EDIT : Le seul problème est l'utilisation de la série harmonique (dont on ne connait rien en seconde).
On est donc pas censé savoir qu'elle diverge. Cependant l'énoncé de l'exercice implique sa divergence (si on ne suppose pas que x<1) car, du fait que les dénominateurs sont distincts, on ne pourrait dépasser 1/1 + 1/2 +... , limite de la série harmonique. Si elle était finie, l'énoncé serait donc faux au delà de cette limite.
(Merde, blanker ne sert à rien ...)

[Archytas]

Yo,
La somme de rationnels peut-elle être irrationnelle?

Oui puisque pi est une somme infinie de rationels et c'est un irrationel.

[Joker62]

Hello !

Sinon on pose E = {1,2,3,...} et x le nombre rationnel en question.

On prend n_0, le plus petit élément de E tel que

On pose alors F = {n_0}, E = E\{n_0} et x = x-1/n_0

On recommence l'expérience le temps qu'il faut.

Ex : x = 1,375

On commence par n_0 = 1
Il reste donc x = 0.375

On continue, il nous reste E = {2,3,4,...}
comme 1/2 > x, on prend n_1 = 3. Soit F = {1;3}, E = {2;4;5;6;...} et x = 1/24

Ici le plus petit entier est n = 24.

On a donc F = {1,3,24}, E = {...} et x = 0
On peut s'arrêter

On a donc

1.375 = 11/8 = 1/1 + 1/3 + 1/24

[Matt_01]

Hello !

Sinon on pose E = {1,2,3,...} et x le nombre rationnel en question.

On prend n_0, le plus petit élément de E tel que

On pose alors F = {n_0}, E = E\{n_0} et x = x-1/n_0

On recommence l'expérience le temps qu'il faut.

Ex : x = 1,375

On commence par n_0 = 1
Il reste donc x = 0.375

On continue, il nous reste E = {2,3,4,...}
comme 1/2 > x, on prend n_1 = 3. Soit F = {1;3}, E = {2;4;5;6;...} et x = 1/24

Ici le plus petit entier est n = 24.

On a donc F = {1,3,24}, E = {...} et x = 0
On peut s'arrêter

On a donc

1.375 = 11/8 = 1/1 + 1/3 + 1/24

Qu'est ce qui assure que cela termine ?
Ou utilises tu l'argument "rationnel" ?

[Kikoo <3 Bieber]

Salut à tous !

Matt : x peut très bien être supérieur à 1

Edit : ce que tu mets dans ton raisonnement est aussi assez poussé ! Passer par des suites pour en arriver à la série harmonique... Je n'y aurais jamais pensé !
Quoique c'est possible, mais voyons voir ce que d'autres ont fait :)

[Kikoo <3 Bieber]

Joker utilise sans le nommer l'algo qui permet de déterminer le développement souhaité ! :D
Mais il faut d'abord justifier l'existence de ce développement, ce qui est l'objet de l'exo !

Svp, veuillez ne pas donner de termes précis si vous connaissez ;)

[Matt_01]

Je n'ai pas dit que c'était impossible pour x>1 !
Quant à ma démonstration, c'est simplement une notation différente (que j'estime plus exploitable) de celle de Joker. L'algorithme est quasiment le même au final ;)

[Kikoo <3 Bieber]

D'accord. Faudra quand même que je la lise plusieurs fois avant de la comprendre ta démo ^^ elle est élaborée.

[benekire2]

Vu le titre, je pense que l'on pourra utiliser l'algorithme des fractions égyptiennes, ça me fait penser à une olympiade. Je regarde cela.

[benekire2]

Bon, alors j'ai une solution "artisanale" :

Prenons un exemple :
1.349 a mettre en somme de fractions.



Bien sûr c'est pas ce qu'on veut, mais on peut ruser : donc donc on est arrivé a remplacé un 1/k par d'autres choses. Et comme cela, on peut assurer que on arrivera a changer tout les dénominateurs. Cela dit plusieurs choses restent à justifier, et pour l'heure pas le temps de tout écrire. Si quelqu'un veut des détails j'en donnerais, mais sinon je n'écrirais pas tout.

Oui puisque pi est une somme infinie de rationels et c'est un irrationel.

Non pas vraiment, une somme infinie n'est pas vraiment une somme

Tu peut par contre construire une suite de rationnels qui converge vers un réel quelconque (que tu as bien sur fixé avant) , pour pi, théoriquement rien de difficile, la suite et alors tu en déduit une somme infinie de rationnels qui convergent, après ce genre de suite est difficilement calculable

[benekire2]

Oui puisque pi est une somme infinie de rationels et c'est un irrationel.

Non pas vraiment, une somme infinie n'est pas vraiment une somme

Tu peut par contre construire une suite de rationnels qui converge vers un réel quelconque (que tu as bien sur fixé avant) , pour pi, théoriquement rien de difficile, la suite et alors tu en déduit une somme infinie de rationnels qui convergent, après ce genre de suite est difficilement calculable

[Kikoo <3 Bieber]

Bien sûr c'est pas ce qu'on veut, mais on peut ruser : donc donc on est arrivé a remplacé un 1/k par d'autres choses. Et comme cela, on peut assurer que on arrivera a changer tout les dénominateurs. Cela dit plusieurs choses restent à justifier, et pour l'heure pas le temps de tout écrire. Si quelqu'un veut des détails j'en donnerais, mais sinon je n'écrirais pas tout.

J'en suis arrivé au même calcul
Mais s'il y a encore quelques éléments, je veux bien savoir de quoi il s'agit. On m'a aussi dit que je pouvais améliorer le nombre de termes 1/ai à sommer. J'en ai trouvé

[Matt_01]

Que représente n ?
Mon algo donne au max p termes (où p est le numérateur).

[Kikoo <3 Bieber]

Excuse ! ^^ Je voulais dire où x=a/b

Edit : donc on trouve pas le même truc :s

[Matt_01]

Excuse ! ^^ Je voulais dire où x=a/b

Edit : donc on trouve pas le même truc :s

T'es sûr de toi ? (autant pour moi, mon résultat c'est pour ceux <1)
Vu que, avec n termes, le truc le plus important qu'on puisse faire c'est 1+1/2+...+1/n = ln n + gamma + o(1)
Donc avec 2^{a+1} termes on fait de l'ordre de (a+1)ln n + gamma.
Mais vu que ln 2 < 1, (a+1)ln 2 + gamma < a à partir d'un certain rang.
Pour b=1 le nombre de termes ne peut pas être bon à partir d'un certain rang (il en faut forcément plus).
Du coup, soit t'as une erreur de calcul, soit de raisonnement.

[Kikoo <3 Bieber]

T'es sûr de toi ? (autant pour moi, mon résultat c'est pour ceux <1)
Vu que, avec n termes, le truc le plus important qu'on puisse faire c'est 1+1/2+...+1/n = ln n + gamma + o(1)
Donc avec 2^{a+1} termes on fait de l'ordre de (a+1)ln n + gamma.
Mais vu que ln 2 < 1, (a+1)ln 2 + gamma < a à partir d'un certain rang.
Pour b=1 le nombre de termes ne peut pas être bon à partir d'un certain rang (il en faut forcément plus).
Du coup, soit t'as une erreur de calcul, soit de raisonnement.

J'ai calculé : j'applique le fait que sur chaque terme, et je l'applique rebelote jusqu'à ce que j'aie des termes tous différents. Le fait qu'on développe une fraction en deux autres fait que je subdivise les étapes en 2 à chaque fois... Mais j'avoue que je trouve mon résultat un peu grand !

[Matt_01]

[quote="Kikoo =2 la formule peut être bonne (car ln 2 > 1/2).

[Kikoo <3 Bieber]

De ce que je pensais, ton résultat était trop petit justement !
Mais en fait ta décomposition ne fonctionne pas pour b= 1 (car 1/1 donne 1/1 = 1/2 + 1/2 et donc ne donne pas deux trucs différents).
Par contre pour b>=2 la formule peut être bonne (car ln 2 > 1/2).

Ah ^^ Tout à fait !
Donc ma solution minore si je puis dire, l'ensemble des nombres de termes ?