Ordres - permutations

[capitaine nuggets]

Bonjour, voilà je suis tombé cette année sur l'exercice suivant :

on considère dans les éléments suivants :

et .

Calculer les puissances successives et l'ordre de , , , , et .

Ma question est la suivante :
Si on avait des éléments de par exemple, comment faire pour trouver leur ordre ?
Je me vois mal calculer puissances successives pour n'avoir toujours pas l'ordre...

[Lud]

Déjà on est pas dans S_3 mais dans S_5. Ensuite si le support d'une permutation est n, tu peux la considérer comme une permutation de S_n, donc d'ordre un diviseur de n!

[Doraki]

Il faut regarder la décomposition en cycles de ta permutation, ça t'aide à comprendre comment sont les 1000 puissances successives et tu peux trouver son ordre plus facilement grâce à ça.

[wserdx]

Euh, si je ne me trompe pas, l'ordre d'un élément (ici une permutation) divise l'ordre du groupe (ici le groupe des permutations. L'ordre du groupe des permutations est , non?
Pour calculer directement l'ordre d'une permutation, je calculerais la taille des orbites et je prendrais le ppcm.

[Lud]

oui j'ai corrigé mon erreur

[capitaine nuggets]

Déjà on est pas dans S_3 mais dans S_5. Ensuite si le support d'une permutation est n, tu peux la considérer comme une permutation de S_n, donc d'ordre un diviseur de n!

Qu'est-ce que le support d'une permutation ?

Pour calculer directement l'ordre d'une permutation, je calculerais la taille des orbites et je prendrais le ppcm.

Qu'est-ce que l'orbite ?
Pourquoi prendre le ppcm ?

[wserdx]

Le support c'est l'ensemble sur lequel opère la permutation. (Ou plus précisément l'ensemble des éléments non nilpotents c'est à dire tels que
L'orbite d'un élément, c'est l'ensemble de ses images successives par la permutation.
Les orbites sont disjointes et forment une partition du support.
Si alors est un multiple de la taille de l'orbite de . Je te laisse voir pourquoi.
Si pour tout on a alors est multiple de toutes les tailles d'orbites. Je te laisse voir pourquoi le plus petit multiple est l'ordre de la permutation.

[capitaine nuggets]

Le support c'est l'ensemble sur lequel opère la permutation. (Ou plus précisément l'ensemble des éléments non nilpotents c'est à dire tels que
L'orbite d'un élément, c'est l'ensemble de ses images successives par la permutation.
Les orbites sont disjointes et forment une partition du support.
Si alors est un multiple de la taille de l'orbite de . Je te laisse voir pourquoi.
Si pour tout on a alors est multiple de toutes les tailles d'orbites. Je te laisse voir pourquoi le plus petit multiple est l'ordre de la permutation.

Je dois bien avouer que tout ça est un peu trop théorique pour moi.
N'aurais-tu pas un exemple à me proposer pour illustrer tout ça ?

[wserdx]

Ben par exemple dans ton premier post.
Vérifie que les orbites de sont

et

et que n'a qu'une seule orbite :

[capitaine nuggets]

Ben par exemple dans ton premier post.
Vérifie que les orbites de sont

et

et que n'a qu'une seule orbite :

; ; d'où l'orbite de est .

; d'où l'orbite de est .

[wserdx]

Est-ce que cette illustration te suffit?

[capitaine nuggets]

Est-ce que cette illustration te suffit?

Oui, par contre, en aurais-tu pour me faire comprendre ce qu'est un support ?

[Skullkid]

; ; d'où l'orbite de est .

; d'où l'orbite de est .

Attention à la façon d'écrire et de concevoir les choses ! r n'a pas qu'une seule orbite donc tu ne peux pas parler de "l'orbite de r", encore moins les noter tour à tour orb(r). En règle générale on parle des orbites d'une permutation et de l'orbite d'un élément sous l'action d'une permutation. L'orbite de 1 sous l'action de r est {1,3,5}, etc.

Quant au support d'une permutation, c'est comme il a été dit l'ensemble des valeurs sur lesquelles la permutation n'est pas confondue avec l'identité, c'est-à-dire l'ensemble des valeurs qui supportent la permutation. Par exemple si on considère la permutation f de S_5 définie par f(1) = 2, f(2) = 3, f(3) = 1, f(4) = 4 et f(5) = 5, le support de f est {1,2,3} car f ne fixe pas ces valeurs, alors qu'elle fixe (= ne fait pas changer) 4 et 5.