Caractérisation des matrices de permutations

par **ffpower** » 30 Mai 2009, 16:49

Petit exercice amusant d algebre linéaire:
Soit A une matrice de GL_n(Z), a coefficients positifs, telle que la suite (A^n) soit bornée.Montrer que A est une matrice de permutation

par **yos** » 30 Mai 2009, 18:03

Une partie bornée de Gln(Z) est finie donc A est d'ordre fini dans ce groupe.

par **ffpower** » 30 Mai 2009, 18:29

eact(mais ca ne conclut pas l exercice)

par **yos** » 30 Mai 2009, 19:10

Je vois bien que c'est pas fini.
Suite des idées : A est diagonalisable (dans Q par exemple). Ses vp ne pouvant alors être que 1 et -1. Les 1 dominent because la trace.

par **yos** » 30 Mai 2009, 20:04

J'ai dit une bétise.

est pas scindé sur Q. La diagonalisabilité dans C est pas intéressante.

par **sniperamine** » 30 Mai 2009, 20:26

yos a écrit:J'ai dit une bétise. est pas scindé sur Q. La diagonalisabilité dans C est pas intéressante.

yos je crois que c'est la trigonalisation qui n'est pas intéressante yos :happy2: car toute matrice dans C est trigonalisable

par **yos** » 30 Mai 2009, 21:01

Celle-là est diagonalisable dans C (à valeurs propres racines de 1). Mais ça m'a pas l'air très utile.

par **Nightmare** » 30 Mai 2009, 22:05

Salut à tous :happy3:

ffpower, désolé de mon manque de culture mais qu'appelles-tu "matrice de permutation" ? Est-ce simplement une matrice représentant un endomorphisme bijectif de N?

par **sniperamine** » 30 Mai 2009, 22:25

yos a écrit:Celle-là est diagonalisable dans C (à valeurs propres racines de 1). Mais ça m'a pas l'air très utile.

ah ok Yos c'est bon je comprends mieux maintenant

par **SimonB** » 30 Mai 2009, 22:58

Nightmare a écrit:Est-ce simplement une matrice représentant un endomorphisme bijectif de N?

C'est une matrice représentant une permutation de {1,...,n}.

par **Doraki** » 30 Mai 2009, 23:23

Il me semble que quand on sait que M est diagonalisable dans C on a déjà presque fini.
(A la reflexion, en fait nan c'est pas aussi simple, c'est dur d'utiliser l'hypothèse que les coefficients sont positifs).

Sinon on peut aussi faire un truc plus combinatoire c'est pas très dur mais ça ressemble moins à de l'algèbre linéaire.

par **yos** » 01 Juin 2009, 06:19

Doraki a écrit:Il me semble que quand on sait que M est diagonalisable dans C on a déjà presque fini.

J'ai pensé à ça :
Si (e_i) est la base canonique de R^n,

,
la norme subordonnée à la norme euclidienne étant le rayon spectral.

ne peut contenir qu'un 1 et des 0 dans ses coordonnées :

.
L'inversibilité de A assure alors que A permute les

.

par **ffpower** » 01 Juin 2009, 07:49

Salut :we:
Pourquoi

?

par **yos** » 01 Juin 2009, 08:05

Les vp sont des racines de 1 et la norme est le sup des modules des vp.

par **Doraki** » 01 Juin 2009, 08:36

Comment tu montres que A est diagonalisable ?

Et puis la norme de A est pas forcément la même que celle de la diagonalisation de A.

par **yos** » 01 Juin 2009, 08:48

Elle est diagonalisable car annulée par un polynôme x^k-1.
La norme est pas constante sur les classes de similitude mais les valeurs propres si.

par **Doraki** » 01 Juin 2009, 08:57

Ok pour la diagonalisabilité.

En prenant A =
(0 -1)
(1 -1)

T'es en train de dire que sqrt(2) = || A e2 || <= 1 ?

par **yos** » 01 Juin 2009, 10:16

En effet : ce doit être le rayon spectral de

qu'il faut prendre; D'où mon erreur.
Je regarderai plus tard si j'arrive à récupérer le coup.

par **ffpower** » 29 Juil 2009, 18:41

Petit up avant de donner la solution(c est en fait pas tres dur,et ma solution n utilise rien d algebre linéaire-ca doit etre la meme que doraki)

par **skilveg** » 29 Juil 2009, 20:52

Une réponse ici ?

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