Ppcm et ordres dans un groupe

[elvis77]

Bonsoir,

J'ai une question : Voici les données
a, b dans un groupe G d'ordre o(a) et o(b)
soit p tel que
on a montré que : o(a) divise ppcm(p,o(b)) et
o(b) divise ppcm(p,o(a))
On veut en déduire que o(ab)=ppcm(o(a),o(b)) si aucun facteur premier ne figure à un même exposant non nul dans les décompositions en facteurs premiers de o(a) et de o(b).

J'arrive à montrer que si alors ppcm(o(a),o(b)) est bien le plus petit exposant donc égal à o(ab) mais je n'arrive pas à montrer que , je n'arrive pas à voir où intervient le "si aucun facteur premier........"
Merci pour votre aide.
Cordialement.

[Maxmau]

Bj
m =o(a) , n = o(b) , d = PGCD(m,n) , m' = m/d , n' = n/d
La condition de ton exo doit se traduire en disant que 1 est le seul diviseur de d premier avec le produit m'n'
Pas le temps de faire mieux qu'une référence ( lemme ds paragraphe sur ordre d'un élément):

http://www.iecn.u-nancy.fr/~mortajin/chapitre1.pdf

[mr_pyer]

Est-ce que l'on demande que les éléments a et b commutent ?

[Maxmau]

Est-ce que l'on demande que les éléments a et b commutent ?

bj
ELVIS77 ne le mentionne pas mais c'est un oubli de sa part je pense