Série entière, Equa. Diff.

[Hazar]

Bonjour,

Soit : x(x-1)y''+3xy'+y=0

1) Trouver les solutions de cette équation développables en série entière à l'origine. Déterminez la somme des séries entières obtenues.

2) Indiquez une méthode pour trouver toutes les sol. sur ]0,1[; ]-infini,0[; ]1,+infini[

Alors en posant f(x)=, on a
f'(x)=
f''(x)=

J'arrive à


n>3 ( car )

Problème : j'ai pas de condition initiale !!(il me faudrait a2 ou a1) Ce qui me fait encore plus peur c'est que l'énoncé parle de plusieurs séries entières.... J'ai du zappé qqchose ! Ou alors j'ai "juste" fais plusieurs fois la même erreur de calcul ...

[Luc]

Salut,

ton calcul me parait correct, après il te faut déterminer la somme des séries entières obtenues.
Tu exprimes tout en fonction de a_1 (laissé libre) et ça se somme bien. (c'est la dérivée d'une série géométrique).


Pour 2), c'est plus compliqué, je pense qu'il faut des arguments d'unicité via le théorème Cauchy-Lipschitz.

Bon courage!

[Hazar]

Salut,

ton calcul me parait correct, après il te faut déterminer la somme des séries entières obtenues.
Tu exprimes tout en fonction de a_1 (laissé libre) et ça se somme bien. (c'est la dérivée d'une série géométrique).


Pour 2), c'est plus compliqué, je pense qu'il faut des arguments d'unicité via le théorème Cauchy-Lipschitz.

Bon courage!

Merci de t'être penché sur le calcul, ok pour la 1), "cauchy-lipschitz" m'évoque en effet une démonstration inbuvable..bref, encore merci et bonne soirée.

[Hazar]

Du coup notre somme est la dérivée de pour x1.

D'ailleurs y'a t-il des hypothèses à vérifier pour affirmer ça ? (pour dire que la série dérivée converge vers la dérivée de la somme ?)

[Hazar]

Sinon personne pour la 2) ?

Pas d'esprit brillant dans le coin ? (je vous met la pression là^^)

La 1) nous a donné une solution sur ]-1,1[, Luc évoquait le théorème de cauchy-lip qui garanti l'unicité d'une éventuelle solution maximale, problème, la solution maximale, nous ne l'avons pas encore.

Donc si qqn voit une "méthode" pour avoir les solutions sur les différents intervalles de cette équation différentielle, je lui en serais reconnaissant.

[Luc]

Je ne suis pas d'accord avec ta solution, j'ai refait les calculs et je trouve , soit
Elle vérifie l'équation partout (y compris en 0) sauf en 1.

Pour la 2, je cherche. Mais j'ai envie de dire que l'espace des solutions est un sev de dimension 2 (connaissant et , y est unique par Cauchy-Lipschitz), or on n'a trouvé qu'une droite vectorielle pour l'instant...

[Hazar]

Je ne suis pas d'accord avec ta solution, j'ai refait les calculs et je trouve , soit
Elle vérifie l'équation partout (y compris en 0) sauf en 1.

Pour la 2, je cherche. Mais j'ai envie de dire que l'espace des solutions est un sev de dimension 2 (connaissant et , y est unique par Cauchy-Lipschitz), or on n'a trouvé qu'une droite vectorielle pour l'instant...

Oui, erreur de calcul, autant pour moi, cependant, le rayon de cv de la somme étant ]-1,1[, j'ai pensé que la solution n'était valable que sur cette intervalle, même si, tu as raison, la fonction "marche" pour tout x différent de 1.

[SimonB]

Plusieurs choses :

-le calcul de Luc est juste et, cherchant une solution sous forme de série entière, on tombe sur cette classe de fonctions ;

-même si la démonstration de Cauchy-Lipschitz te semble ardue, c'est un théorème extrêmement important qu'il te faut savoir maîtriser. Ce que dit le théorème de Cauchy-Lipschitz linéaire, c'est que si tu as une EDO linéaire homogène d'ordre n, réglée en (c'est-à-dire que le coeff devant est 1 ; ici, ce sera donc le cas sur chacun de tes sous-intervalles quitte à diviser par le coefficient devant ), l'espace de tes solutions forme un espace vectoriel de dimension . Et que par ailleurs, si tu fixes , tu as une unique solution qui prend les valeurs que tu as imposées.

Autrement dit, c'est un théorème bien pratique : tu peux chercher un peu comme tu veux les solutions (en trouver une au détour d'un buisson), si tu en trouves suffisamment, Cauchy-Lipschitz te dit que tu n'as plus besoin de chercher autre chose.

En pratique, ici : l'équation est de degré 2, l'espace des solutions doit donc être de dimension 2. La fonction que Luc te donne (et tous ses multiples scalaires) te donne une solution. Il manque une solution linéairement indépendante pour couvrir tout l'espace (ensuite, l'ensemble des solutions sera l'ensemble des combinaisons linéaires de ces deux fonctions). Une façon classique de chercher une solution linéairement indépendante une fois qu'on en a une est de la chercher comme multiple de l'autre, i.e. de chercher . Cherche-la sous cette forme, écris ce que ça veut dire pour et conclus.

[Luc]

Merci SimonB pour ton intervention,

effectivement un point très important à remarquer et que l'équation est linéaire. Plusieurs conséquences :
- Connaissant déja une solution particulière, on peut rechercher des solutions particulières indépendantes avec la méthode dite de Lagrange, également appelée méthode de variation de la constante (ie. le changement de variables ). Ce n'est valable a priori que sur un intervalle où ne s'annule pas.
- On a seulement besoin d'une version light de Cauchy-Lipschitz, aka Cauchy-Lipschitz linéaire d'ordre 1 pour les systèmes différentiels (en regardant le vecteur ). La démonstration, il faut la comprendre même si tu n'en as pas directement besoin pour résoudre l'exercice. L'idée est d'appliquer le théorème du point fixe à l'application qui à une fonction continue F associe la fonction continue qui exprime la formulation intégrale de l'ED. Ceci est possible car l'espace des fonctions continues de I (segment dans un premier temps, puis on étend le résultat à I intervalle non vide) dans muni de la norme de la convergence uniforme est un espace de Banach.