Solution développable série entière equa diff

[Raiiina]

Bonjour à tous,

Je travaille sur l'exercice suivant mais je rencontre des difficultés:

On se propose de déterminer les solutions développables en série entières de l'équation différentielle:
(1+x²)y"-2y=0 (E)
S(x)= solution de (E).

a) Montrer que (n+1)(n+2)+(n²-n-2)=0 et en déduire pour tout n>=2
= 0

Pour cette question, j'ai utilisé le théorème de dérivation des séries entières:
y'(x)=
xy'(x)=
y"(x)=
x²y"(x)=
et
x²y(x)=

Ainsi (1+x²)y"(x)-2y(x)=y"(x)+x²y"(x)-2y(x)=+-2

Je rencontre des problème à ce niveau là car je n'arrive pas à simplifier les sommes et les puissances pour obtenir la forme demandée.
En trouvant la forme demandée, je pourrais alors dire que par unicité d'un développement en série entière:
=0 et pour tout n>=2 ,

De plus, on a:
or on ne peut pas diviser par 0
donc je pourrais commencer par puis calculer ... pour avoir ?

Merci d'avance

[Lostounet]

Bonsoir Raiiina,

La méthode selon moi consiste à d'abord exprimer comme tu l'as fait l'équation différentielle en fonction des séries entières. Cependant, on constate souvent que les puissances des termes en x^k ne concordent pas (on a du x^(k-1) et du x^(k+1)). Ce qu'on peut faire, c'est tout réindexer en x^k puis jeter les termes excessifs en dehors des sommes.

Ce que je veux dire:






En jetant tous les termes des sommes qui sont en k = 0 et k = 1, on a:



Par unicité du DSE:

. Ensuite, pour tout



Cela veut dire, d'abord que

Et
ie
pour tout


(Pour k = 0 on retrouve et pour k= 1 la formule est donc valable pour tout k >= 0 finalement ! Et en plus on peut encore la simplifier par (k+2)