Equations différentielles

[Raven]

Bonjour , j'ai un exercice sur les équations diff' :
On considere l'equation diferentielle
y'' + 2y' + y = g(x) (1)
ou g : R ! R est une fonction continue.
1. Resoudre l'equation homogene associee a (1).
2. Resoudre (1) si g(x) = sin(x).
3. Resoudre (1) si g(x) = x + sin(x)

pour la 1) j'ai trouvé r²+r+1=0
la 2 je ne vois pas comment procéder pour avoir une solution particulière du 2nd membre . parce que j'ai toujours eu dans les exercices des expressions en rapport avec des polynômes ou exponentielle , mais là le rapport avec l'exponentielle c'est e^x-e^-x/2 ?

[fatal_error]

slt,

la 1 tu t'es planté.
C'est r^2+2r+1=0
et faut pas s'arreter à ca, faut résoudre...et donner les solutions

pour la 2
Au pire tu fais une double variation de la constante.
Sinon ya ptet moyen de s'en sortir en posant
puis trouver y qui satisfait
y'' + 2y' + y = e^{ix}
et y'' + 2y' + y = e^{-ix}
puis additionner les solutions

[Raven]

oui pardon je n'avais pas tout écrit ,oui et donc les solutions sont e^-x et xe^-x

quand tu dis trouver y : on fait pareil que d'habitude c'est à dire dans le cas où g(x)=P(x)e^alphax où alpha est la racine?
parce que dans ce cas il n'y a pas de polynôme ?
et avec les i ça change quelque chose non?

[fatal_error]

y'' + 2y' + y = e^{ix}
ben tas un peu envie de poser y=e^ix ...

[Raven]

oui mais ensuite on doit donc vérifier si i est solution de l'équation , elle ne l'est pas non ?

[fatal_error]

pourquoi i?

jsais même po ce que tu cherches là.

[newman]

il me semble qu'il est possible de resoudre directement avec exp(ix) dans le second terme de l'égalité(c'est très facile de résoudre ce genre d'équation)..Et de prendre la partie imaginaire de tes solutions pour obtenir au final toutes les solutions de l'équation avec sin(x) dans le second terme de l'égalité

[Raven]

c'est bizarre j'ai l'impression j'ai pas vu ça en cours..j'ai vu le cas de exponentielle mais c'était plus simple avec la recherche des solutions si on avait ex : e^2x , si 2 était solution de l'équation on avait y= (ax+b)e^2x et aprés on trouvait y' ,puis y'' et on remplaçait mais là avec les parties imaginaires les i ..je vois pas comment faire

[newman]

c'est bizarre j'ai l'impression j'ai pas vu ça en cours..j'ai vu le cas de exponentielle mais c'était plus simple avec la recherche des solutions si on avait ex : e^2x , si 2 était solution de l'équation on avait y= (ax+b)e^2x et aprés on trouvait y' ,puis y'' et on remplaçait mais là avec les parties imaginaires les i ..je vois pas comment faire

Pourquoi vouloir faire toujours plus compliqué^^..pose par exemple y=K.exp(ix) ..Je te laisse chercher K qui a priori appartient à l'ensemble des complexes

[Raven]

je trouves K= 1/2i ?

[newman]

je trouves K= 1/2i ?

oui c'est exact..donc une solution particulière de l'équation avec exp(ix) dans le second terme de l'égalité est (1/2i)*exp(ix)...la partie imaginaire de cette solution particulière est une solution particulière pour l'équation avec sin(x) dans le second terme de l'égalité...tu pourras en déduire l'ensemble des solutions de l'équation...

[Raven]

Donc la partie imaginaire c'est à dire 1/2i et pour l'ensemble des solutions on marque juste 1/2ie^x ou on refait la dérivée et dérivée seconde et on remplace dans l'équation ?

[newman]

la partie imaginaire de (1/2i)*exp(ix) n'est pas 1/2i ...je te laisse donc rectifier ta réponse^^

[Raven]

la partie imaginaire n'est pas celle avec les i ?

[newman]

attention,la solution que nous avions trouvé est y=(1/2i)exp(ix)...non pas (1/2i)exp(x)

[Raven]

l'ensemble des solutions c'est (1/2i)e^ix+ 1/2i?

[fatal_error]

ben tu remplaces et tu vérifies...

[newman]

bon je vais détailler: (1/2i)*exp(ix)=(1/2i)*cos(x)+(1/2i)*i*sin(x)=(sin(x))/2 - i*((1/2)*cos(x))

Je prends la partie imaginaire de cette expression : -(cos(x))/2

Donc une solution particulière de ton équation avec sin(x) dans le second terme de l'égalité est -(cos(x))/2

Donc les solutions à l'équation sont celles trouvées pour l'équation homogène(Question 1) plus la solution particulière que tu as trouvé ci-dessus..Je n'arrive pas à cerner où tu as des difficultés pour comprendre la démarche

[fatal_error]

(1/2i)*exp(ix)=(1/2i)*cos(x)+(1/2i)*i*sin(x)=(sin(x))/2 - i*((1/2)*cos(x))

nan ya pas de moins

[newman]

euh..(1/2i) c'est égal ,en multipliant au numérateur et dénominateur par i, à:
-i/2 ??Bon je suis ptet très fatigué^^