Question à propos de l'écart type

[leon1789]

A propos du sens du terme "biais", j'ai fini par trouver, je crois.
Une série et l'ensemble des valeurs est "sans biais" quand on connait la moyenne.

:doh: Effectivement...

J'emploie habituellement l'expression "valeur vraie" ou "moyenne vraie". Dans ce cas les écarts constatés sont appelés des "écarts vrais", et le dénominateur de l'écart type est N.

D'où l'intérêt d'utiliser le vocabulaire usuel.

[Dlzlogic]

C'est toi qui a bien écrit que la différence était minime lorsqu'il y a un grand nombre d'observations. Je demande simplement quelle différence car je ne comprends pas de il s'agit.

Pour une série de 100 mesures, diviser par 100 ou 99 ne change pas grand-chose, c'est ce que je voulais dire, pas plus et j'ai bien l'impression que c'est la raison de cette "simplification". En tout cas, il bien écrit dans que le dénominateur est (N-1) ou N suivant que la moyenne est biaisée ou pas.

@Doraki, merci pour la définition, mais, désolé, je ne comprend pas. De toute façon, cette notion de variance n'entre pas dans le cadre des notions que je connais et que j'utilise.

[Dlzlogic]

D'où l'intérêt d'utiliser le vocabulaire usuel.

Là je suis d'accord, tu reconnaitras que je précise très souvent les termes que j'emploie, mais mon bouquin a été édité en 1960.

[leon1789]

En tout cas, il bien écrit dans que le dénominateur est (N-1) ou N suivant que la moyenne est biaisée ou pas.

:doh: suivant que la moyenne est biaisée ou pas... Où ça (quelle page dans le document) ?

[leon1789]

Pour une série de 100 mesures, diviser par 100 ou 99 ne change pas grand-chose, c'est ce que je voulais dire, pas plus et j'ai bien l'impression que c'est la raison de cette "simplification".

Ce n'est pas une simplification : le N vient de la définition (variance ou écart-type), le N-1 vient d'un résultat mathématique rigoureux sur le biais de l'estimateur "naturel" de la variance. Bref, c'est pas grand-chose, mais c'est très net. :lol3:

En tout cas, il bien écrit dans que le dénominateur est (N-1) ou N suivant que la moyenne est biaisée ou pas.

Je crois que tu n'as pas bien compris la notion de biais.

@Doraki, merci pour la définition, mais, désolé, je ne comprend pas. De toute façon, cette notion de variance n'entre pas dans le cadre des notions que je connais et que j'utilise.

Je me demande comment tu peux prétendre comprendre la notion d'écart-type mieux que tout le monde dans cette discussion alors que tu ne connais pas la notion de variance qui est sous-jacente.
Mais bon, soit ! :we:

[leon1789]

Là je suis d'accord, tu reconnaitras que je précise très souvent les termes que j'emploie, mais mon bouquin a été édité en 1960.

Pourquoi n'essaies-tu pas un livre plus récent ?
Par exemple, un livre niveau 1ère S (avec des expérimentations numériques comme tu aimes :lol3:)
http://www.academie-en-ligne.fr/Ressources/7/MA12/AL7MA12TEPA0111-Sequence-02.pdf Partie 1 , Chapitre 3 "Moyenne, écart-type" .

[Dlzlogic]

Pourquoi n'essaies-tu pas un livre plus récent ?
Par exemple, un livre niveau 1ère S (avec des expérimentations numériques comme tu aimes :lol3:)
http://www.academie-en-ligne.fr/Ressources/7/MA12/AL7MA12TEPA0111-Sequence-02.pdf Partie 1 , Chapitre 3 "Moyenne, écart-type" .

Juste pour accuser réception de ta réponse à limite de la correction.
Demain, je ferai un réponse longue, détaillée, ce soir :dodo:

[Elerinna]

Je ne sais pas s'il existe d'estimateur simple non biaisé de l'écart type, mais a priori (à confirmer, les stats ne sont pas mon domaine de prédilection) l'estimateur sans biais de la variance suffit, et le fait d'en prendre la racine carrée sert surtout à mon avis à mieux se représenter les choses (et les estimateurs de l'écart type sont tout de même convergents, si je dis pas de bêtises).

Oui si l'estimateur du maximum de vraissemblance est biaisé, un estimateur sans biais, lui, de l'écart-type s'obtient en le multipliant par un facteur correctif constant dépendant uniquement de (libéré ici)....

[leon1789]

Oui si l'estimateur du maximum de vraissemblance est biaisé, un estimateur sans biais, lui, de l'écart-type s'obtient en le multipliant par un facteur correctif constant dépendant uniquement de (libéré ici)....

Merci ! Cela apporte la réponse à ma question.

[Dlzlogic]

Tu n'as pas cité une définition mais un paragraphe qui veut présenter intuitivement la notion.
La définition c'est ce qui vient juste après :

Definition II.28 : Soit X une variable aléatoire réelle de carré intégrable. On définit la variance de X, Var(X), par :

Var(X) = espérance de la variable (X - (espérance de X))²

Ca, c'est une définition de la variance d'une variable aléatoire réelle de carré intégrable.

Oui, mais je suis encore handicapé par un problème de langue (vocabulaire utilisé).
Je ne sais pas si l'espérance est la valeur vraie ou si c'est la moyenne arithmétique résultant d'expérience, ou si c'est autre-chose.

Deux ou trois lignes plus loin, on lit

Proposition II.29. Soit X une v.a. de carr´e int´egrable.
1. Soit a, b R. On a :
Var(aX + b) = a2 Var(X).
2. Si Var(X) = 0, alors il existe a R tel que p.s. X = a. Autrement dit une v.a.
de variance nulle est p.s. constante.

Peut-on admettre la réciproque sous la forme "Un écart-type nul implique que la v.a. est constante" ?

[Sylviel]

Je ne sais pas si l'espérance est la valeur vraie ou si c'est la moyenne arithmétique résultant d'expérience, ou si c'est autre-chose.

Il y a un premier soucis : il n'y a pas de "valeur vrai", car tout n'est pas un problème d'estimation. L'espérance c'est le résultat moyen pondéré par les probabilité.

Exemple :
Si tu a un ticket de loto qui a une chance sur 5 de te rapporter 20€, l'espérance du gain c'est :
1/5 * 20 +4/5 *0 =4

Avec un peu plus de formalisme si une variable aléatoire X prend comme valeur x1,x2,...,xn avec probabilité p1,p2,...pn alors l'espérance de X sera


Pour une variable aléatoire continue c'est la même idée, mais avec une densité et une intégrale.

L'espérance c'est donc la "vraie moyenne". C'est aussi le réel qui va le mieux représenter la va au sens de l'écart quadratique. Finalement si tu répètes une expérience un grand nombre de fois, et que tu appels Mn la moyenne des résultats, alors Mn tends vers l'espérance de l'expérience (loi forte des grands nombre).

Peut-on admettre la réciproque sous la forme "Un écart-type nul implique que la v.a. est constante" ?

Ce n'est pas vraiment la réciproque : si l'écart-type est nul alors la variance est nul, dans la v.a est constante (presque sûrement).

[Dlzlogic]

Pour une variable aléatoire continue c'est la même idée, mais avec une densité et une intégrale.

L'espérance c'est donc la "vraie moyenne". C'est aussi le réel qui va le mieux représenter la va au sens de l'écart quadratique. Finalement si tu répètes une expérience un grand nombre de fois, et que tu appels Mn la moyenne des résultats, alors Mn tends vers l'espérance de l'expérience (loi forte des grands nombre).

Donc, l'espérance, c'est la "valeur vraie".
Par exemple, dans le cas de fermeture de triangles, c'est 200 grades. L'étude de la fermeture de triangles est donc sans biais. Dans ce cas-ci le dénominateur est N, puisque 200 grades est une constante.

Dans la définition de la variance, citée plus haut, les valeurs utilisées sont le espérances, c'est à dire ce que j'appelle les valeurs vraies.
En gros, je comprend toujours pas ce que j'ai dit comme bêtise :
Dans la série [0,1,2], on ne connait pas la "valeur vraie" = "espérance", donc l'écart-type est 1 et non 0.

[Doraki]

Ben une série ce n'est pas une variable aléatoire réelle de carré intégrable donc si "écart-type de la série {0,1,2}" veut dire quelquechose, ce n'est pas là qu'il faut regarder, mais peut-être dans le document que t'as donné leon1789.

Par contre tu peux essayer de calculer l'écart type d'une variable aléatoire réelle X qui vérifie P(X=0) = P(X=1) = P(X=2) = 1/3.


C'est quoi le problème de la fermeture de triangles ?

[Skullkid]

Donc, l'espérance, c'est la "valeur vraie".

Non, c'est la valeur moyenne. Relis l'exemple de Sylviel avec le ticket de loto, il n'y a pas de "valeur vraie" ici. Dans les problèmes d'estimation, on recherche des estimateurs dont l'espérance est égale à ce qu'on veut estimer (c'est la valeur à estimer que tu appelles "valeur vraie"). Lorsque c'est le cas, on dit que l'estimateur est sans biais (le biais étant défini comme la différence entre l'espérance de l'estimateur et la valeur à estimer).

Dans la série [0,1,2], on ne connait pas la "valeur vraie" = "espérance", donc l'écart-type est 1 et non 0.

Il n'y a pas de "valeur vraie" dans une série statistique. Une série statistique c'est juste un ensemble de valeurs. Ici par exemple on a demandé à trois femmes combien elles ont d'enfants, l'une n'en a pas, la deuxième en a un, la troisième en a 2. Il n'y a pas de "vrai nombre d'enfants par femme" (en soi ça ne veut rien dire), mais il y a un "nombre moyen d'enfants par femme sur l'échantillon en question", et il vaut 1. Et l'écart type de cette série n'est ni 1, ni 0, mais . Après, on peut vouloir estimer le nombre moyen d'enfants par femme dans toute la France sans pour autant demander à toutes les femmes de France, dans ce cas on se retrouve avec un problème d'estimation : on veut connaître la moyenne de la série statistique qui contient le nombre d'enfants de chaque femme pour toutes les femmes de France, mais on n'a à disposition qu'un échantillon restreint.

[Dlzlogic]

C'est quoi le problème de la fermeture de triangles ?

Il s'agit de résultats réels auxquels j'ai souvent fait allusion et qui servent d'introduction à toute cette théorie. En deux mots :
En géodésie, on mesure les angles de triangles. On a mesuré par divers moyens des longueurs de quelques bases, toutes les autres observations sont des observations angulaires.
On a étudié les fermetures de 484 triangles. On appelle fermeture la différence de la somme des 3 angles à 200 grades.
On se trouve donc dans le cas, assez rare, ou l'écart observé est la valeur vraie de l'écart.

[leon1789]

Oui si l'estimateur du maximum de vraissemblance est biaisé, un estimateur sans biais, lui, de l'écart-type s'obtient en le multipliant par un facteur correctif constant dépendant uniquement de (libéré ici)....

En fait, je doute de la conclusion : le facteur correctif dépend de n, mais aussi des valeurs de l'échantillon. En effet, prenons la population [0,1,x] :
moyenne =
écart-type =

[leon1789]

Oui si l'estimateur du maximum de vraissemblance est biaisé, un estimateur sans biais, lui, de l'écart-type s'obtient en le multipliant par un facteur correctif constant dépendant uniquement de (libéré ici)....

En fait, je doute de la conclusion : le facteur correctif dépend (des valeurs) de l'échantillon et pas seulement de sa taille.
En effet, prenons la population [0,1,p] :
moyenne (ou espérance) :
écart-type :

Ensuite, on prend des échantillons à 2 éléments indépendants et l'estimateur d'écart-type en avec n=2.
Alors la moyenne de l'estimateur est .

On voit bien que la ratio entre la moyenne de l'estimateur et est compliqué pour une situation aussi simple.

[nuage]

Cela étant je ne parle pas de préférence, mais d'existence.
Il me semble qu'il n'existe pas d'estimateurs de l'écart-type réellement sans biais (contrairement à l'espérance et à la variance) : me trompe-je ?

Je crois que oui, tu te trompes. En théorie c'est certain.
En pratique, il me semble en avoir vu un, mais je n'arrive pas à le retrouver.
En tout cas il n'y en a aucun d'usage courant.

Édition
Voir ici pour un exemple.
Mais je n'ai pas vérifié les calculs.

[leon1789]

Merci Nuage :zen: